[數學]正三角形面積的最小值

[數學]正三角形面積的最小值

picar 於 星期六 十二月 09, 2006 8:03 pm


此題好難請大大幫忙解一下謝謝
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picar
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宇智波鼬 於 星期六 十二月 09, 2006 10:59 pm


我是算9a/11
詳細計算過程晚點po...(因為說不定是錯的.)
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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aaddfg 於 星期六 十二月 09, 2006 11:34 pm


9a/11應該是對的...我也是這個答案
 
設AP=k,BQ=2k,CR=3k
ΔAPR : ΔABC=ak-k2 : a2
ΔBQR : ΔBCA=2ak-2k2 : a2
ΔCRQ : ΔCAB=3ak-3k2 : a2(頂角相同,三角形面積比=夾邊乘積比)
ΔPQR : ΔABC=(√3)/4*(a2-6ak+11k2) : (√3)/4*a2
ΔPQR=(11√3)/4*(k2-6a/11+9a2/121)-9a2/121*(11√3)/4+(√3)/4*a2
              =(11√3)/4*(k-3a/11)2+√3a2/22≥√3a2/22
意謂當k=3a/11時有最小值√3a2/22
此時CR=9a/11

aaddfg
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宇智波鼬 於 星期六 十二月 09, 2006 11:53 pm


哈哈...剛才在跟別人聊天想說晚點再po的說...
居然aaddfg大大就幫我寫完了.

咱們的方法是一樣的...
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期日 十二月 10, 2006 3:58 pm


我的作法有一點點不一樣
但答案是一樣的


要求中間面積的最小值即是求外面三個三角形面積和的最大值
設AP=k,BQ=2k,CR=3k

外面三個三角形面積之和
=1/2*k*(a-3k)*sin60度+1/2*2k*(a-k)sin60度+1/2*3k*(a-3k)sin60度
=根號3/4*k(6a-11k)
=11*根號3/4*(6/11*k*a-k^2)
=-11*根號3/4*(k-3/11*a)^2+9根號3/44*a^2
k=3a/11時外面三角形面積和有最大值
CR=3k=9a/11

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
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[數學]正三角形面積的最小值

picar 於 星期一 十二月 11, 2006 4:05 pm


感謝aaddfg、宇智波鼬、☆ ~ 幻 星 ~ ☆三位大大的解答

picar
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