[轉貼]完美數的故事

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◤呆•呆◢ 於 星期二 八月 15, 2006 9:45 am


  前言

 

究竟人類從何時開始研究完美數,我們並不知道。但埃及人,已經很自然的用它來計算了。而畢達哥拉斯〈Pythagoras〉和他的門徒研究完美數的神秘色彩卻多於數的理論性質。

 

比較早對完美數的定義是關於整除的部份,當某數等於其所有因數和時,它即是完美數。例如 1=10/102=10/55=10/2

但是 10≠1+2+5

所以 10不是完美數。

而最早找出的四個完美數是 6284968128,發現者已無法考證。

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064


 

   歐幾里得幾何原本關於完美數的記錄

 

西元前300年,在歐幾里得幾何原本是數學史上最早有關於完美數的記錄。因它是記錄在幾何原本中,所以讓人感到相當驚訝!其記錄在幾何原本第九冊性質36,敘述如下:

1開始一直2倍的相加,直到總和為質數時,此質數再乘以最後相加的數,即為完美數。例如:1+2+4=7,因為7是質數,所以〈總和〉*〈最後一個數〉=7*4=2828就是完美數。又如1+2+4+8+16=31,因為31是質數,所以31*16=496496就是完美數。因此綜合得公式如下:

1+2+4+8+……+2k-1 =2k-1

k>12k-1是質數時,則2k-1 (2k-1)就是完美數。

 

  希臘的Nicomachus對完美數的討論

 

於西元100年,希臘的Nicomachus是第二位嚴謹地討論完美數者,在他的名著Introductio Arithmetica中,將數分成三類:

第一類:過剩的數整除部分的和超過自己。

第二類:不足的數整除部分的和小於自己。

第三類:完美的數整除部分的和等於自己。

 

後來Nicomachus雖未經證明,仍推論出關於完美數的部分性質。以現代的定義敘述如下:

(1) n個完美數有n位數。

(2) 所有完美數皆為偶數。

(3) 所有完美數的尾數都是68這二數交替。

(4) 以歐幾里得生成完美數之公式,即可得所有完美數。換句話說,當 k > 1,而2k-1 是質數時,每一個完美數的型態都是2k-1 (2k-1)

(5) 完美數有無限多個。

 

接下來我們將說明後來有哪些人證明(1)(3)是錯誤的,而(2)(4)(5)仍是問題。雖然(1)~(5)項很多人當成真理,事實上並未被證實,如完美數6284968128使人們誤以為(3)是正確的。Saint Augustine(354-430)在其名著The City of God中更寫道6這個數本身即是完美數,並不是因為在6天內上帝就創造了萬物;相反的是因為6這個數是完美的,所以上帝才在6天內創造萬物。

 

  阿拉伯數學家對完美數的研究

 

阿拉伯數學家對完美數亦相當著迷,其中Thabit ibn Qurra驗證出,當p是質數時,2n p的型式必是完美數。而Ibn al-Haytham不但提出歐幾里得性質的逆命題,並證明了當2k-1是質數時,型如2k-1 (2k-1)必是完美數。

 

  歐洲數學家對完美數的研究

 

1500年來歐洲數學家皆認為Nicomachus的推論是正確的,甚至有數學家相信另一未被證實而且錯誤的結論k是奇數時,2k-1 (2k-1)是完美數。

 

1461年第五個完美數被發現,過不久第六個完美數也被發現了,但未能確定發現者是誰。直到1536年,Hudalrichus Regiusg是第一位推翻對於後來數學家認為是常識的Nicomachus性質,在他的著作Utriusque Atithmetics中指出211-1=2047=23*89。由此發現第一個質數p,使得2p-1 (2p-1)不是完美數。他又證明了213-1=8191是質數,所以發現第五個完美數212 (213-1)=33550336。而第五個完美數卻有8位數,證明了Nicomachus的第一個推論是錯誤的。

 

  1603Cataldi對完美數的研究

 

到了1603年,Cataldi利用它的質數表,發現217-1=131071是質數,所以發現第六個完美數216 (217-1)=8589869056。而第五個及第六個完美數的尾數是6,這項結果證明了Nicomachus的第三個推論是錯誤的。Cataldi又利用它的質數表,發現 219-1=524287是質數,所以發現第七個完美數218 (219-1)=137438691328。而第五個及第六個完美數的尾數是6,這項結果證明了Nicomachus的第三個推論是錯誤的。Cataldi雖然具有發現二個完美數的重大成就,但他仍下錯結論。在其著作Utriusque Arithmetices中寫著指數p=235713171923293137時,使得2p-1 (2p-1)是完美數。當然,因為他已經利用他的質數表證明了當指數p=2357131719時,是正確的;但是他另外四個證明23293137中,卻只有一個是對的。

 

  1638年,Descartes對完美數的研究

 

許多數學家對完美數相當有興趣,並嘗試著提出理論。如在1638年,Descartes曾寫信給Mersenne,寫著:

 

我想我可以由歐幾里得的公式證明,沒有不是偶數的完美數;但奇數的完美數必是某一質數乘以一完全平方數,且其平方根為質數的合成。如22021是質數,9018009的平方根是由質數371113的合成,所以22021*9018009=198585576189是完美數。

 

  對完美數有重大貢獻的Fermat

 

下一個對完美數有重大貢獻的是Fermat16406月他寫信給Mersenne告訴他關於完美數他的發現,寫著:

我已經發現以下三項性質,首先定義完美數的根數,由指數所形成如下,其中123456等是指數,下一行則為根數。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

3

7

15

31

63

127

255

511

1023

2047

4095

8191

(1) 當指數是合成數時,他的根數即是合成數。如63的指數6是合成數,所以我們就說63是合成數。

(2) 當指數是質數時,他的根數減1可以被指數的兩倍整除。如127的指數7是質數,126可以是14的倍數。

(3) 當指數是質數時,他的根數不能被任何其他的質數整除。

 

以上三項漂亮性質,我將他稱為完美數的基本定理。

 

Fermat164010月寫信給Frenicle de Bessy,信中證明對於任一質數p,如果有一整數a不能被p整除,則ap-1可以被p整除,也就是我們所知道的Fermat’s Little Theorem。可以肯定的說Fermat’s Little Theorem將完美數帶入一系列的研究。

 

16406月他寫給Mersenne的信中,他利用Fermat’s Little Theorem的特例,證明出Cataldi的結論有二項錯誤,因為 223-1=47*178481是合成數和237-1=223*616318177是合成數。Fermat也使用了下列三個定理:

(1) 如果n是合成數時,則2n-1即是合成數。

(2) 如果n是質數時,則2n-22n的倍數。

(3) 如果n是質數,且p2n-1的質因數時,則p-1n的倍數。

 

  Mersenne對完美數的結論

 

MersenneFermat寄給他關於完美數的結論相當感興趣,而且很快提出他自己的證明,使許多數學家著迷好多年。於1644年,他出版Cogitata physica mathematica書中證明了當p=23571317193167127257時,2p-1是質數且2p-1 (2p-1)也是完美數。所以型如2p-1的質數,稱為Mersenne質數。

 

  對完美數有重大貢獻的Euler

 

下一個對完美數有重大貢獻的是Euler1732年他發現第八個完美數230 (231-1)=2305843008139952128。這是125年來第一個被發現的完美數。接著於1738年,尤拉解決了Cataldi的結論最後一項錯誤,因為229-1不是質數。

 

在他兩份於生前未發表的手稿中,尤拉證明了歐幾里得的公式之逆命題,每一個偶完美數的型式必是2p-1(2p-1);由此也很容易的導出所有偶完美數的尾數是68(但並不是交替出現)。尤拉更嘗試著找出奇完美數是否存在?後來尤拉利用在1638Descartes 寫給Mersenne信中所提的結論,證明了每一個奇完美數,當4n+1是質數時,其型式必是(4n+1)4k+1b²。他也提出了當p=41p=47時,2p-1(2p-1)是完美數,但是在1753年,他發現了自己錯誤的性質並修正之。

 

對於完美數的研究,已經變成企圖去檢驗,Mersenne在他Cogitata physica mathematica書中證明的是否正確了。而尤拉更留下了將近150年來,最大的完美數230(231-1)。其他數學家像Peter Barlow,於1811年在他Theory of Numbers書中寫著:

完美數230(231-1),是已發現的完美數中最大的。

 

十一•1876年,Lucas發現了Mersenne證明中第一個錯誤

 

1876年,Lucas發現了Mersenne證明中,第一個錯誤。雖然他的方法無法找出267-1的任何因數,但他卻能證明267-1不是質數。同時,當Lucas證明2127-1Mersenne的質數,和2126(2127-1)是一個完美數時,也就是說Lucas發現了Mersenne質數中,有一個是正確的。Lucas另有一項重大貢獻,利用電子計算機找尋Mersenne質數,也就是找完美數。

 

十二•Catalan數列

 

Lucas證明2127 –1Mersenne質數之後,緊接著Catalan猜測,如果m=2p-1是質數,則2m-1也是質數。當p=37127170141183460469231731687303715884105727時,Catalan數列就是2p-1。當然如果這項猜測是正確的,就可以解決是否有無限個Mersenne質數,這個至今仍未解決的問題。但不管用什麼方法驗證,當p=170141183460469231731687303715884105727時,第四組Catalan數列2p-1是不是質數,已超出我們能力範圍。

 

1883年,Pervusin證出260(261-1)是完美數。

 

1903年,Col發現了,Lucas曾證明267-1是合成數,並找出該數的因數。於190310月,Col參加the American Mathematical Society會議時,發表一篇論文提出

267-1=147573952589676412927=761838257287*193707721

獲得觀眾熱烈掌聲。

 

十三•Mersenne證明中的錯誤逐一被發現

 

更多Mersenne證明中的錯誤逐一被發現。1911年,Power找出288(289-1)是完美數,幾年後他又找出2101-1是質數,因此2100(2101-1)是一個完美數。於1922年,Kraitchik發現了,關於Mersenne質數最大為257之證明是錯誤的,因他證出2257


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[轉貼]完美數的故事(續)

◤呆•呆◢ 於 星期二 八月 15, 2006 9:47 am


 

十三•Mersenne證明中的錯誤逐一被發現

 

更多Mersenne證明中的錯誤逐一被發現。1911年,Power找出288(289-1)是完美數,幾年後他又找出2101-1是質數,因此2100(2101-1)是一個完美數。於1922年,Kraitchik發現了,關於Mersenne質數最大為257之證明是錯誤的,因他證出2257-1不是質數。

 

十四結論

 

我們已逐一找出偶完美數,但我們更希望證明奇完美數不可能存在。目前研究的主要方法,是找出奇完美數的最少相異質因數,而且奇完美數是存在的。於1888年,Sylvester發現任一奇完美數,至少有4個相異質因數。不久,Sylvester自己修正這項結論,認為任一奇完美數,至少有5個相異質因數。直到今天我們已知,至少需有8個相異質因數,或至少有29個不一定相異的質因數,方能構成奇完美數。

 

至今已找出37個完美數,其中288(289-1)是最後一個經由人工計算而獲得的完美數,其餘都是利用電子計算機找出的。事實上電子計算機,對Mersenne質數和完美數的發現,帶來一項新趣味。1998年九月,筆者寫這篇文章時,已知最大Mersenne質數是23021377 -1,也就是說最大完美數是23021376 (23021377 –1)。此最大完美數共有1819050位數。

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