[分享]尺規作圖挑戰題

[分享]尺規作圖挑戰題

J+W 於 星期四 十月 07, 2004 11:53 pm


尺規作圖法

(又稱初等幾何作圖法,歐幾裡得作圖法)只用直尺和圓規兩種工具,按照作圖公法的規定中允許的作圖步驟進行有限次組合的作圖方法。
注意:
(1)這裡說的直尺與我們平時常見的尺子不同,它沒有刻度。這種直尺不能用它去度量,只能用它畫經過兩點的直線,或延長線段成為直線、射線,不允許隨意擴大它的功能。

(2〉用尺規作圖法作圖,可以反復使用允許的各種作 圖步驟,但次數必須是有限的,如果無限次使用這些作 圖步驟來完成一個作圖,那麼這個作圖就不是尺規作圖。

在歐氏幾何中,限定尺、規兩種工具作圖是有歷史原因的。古希臘人認為,歐幾裡得幾何的理論是最完美 的,按照它的公理系統推證出來的結論才是最準確可靠的,直尺上的刻度、三角板的直角都不可靠。但是幾何離不開作圖,為了把不準確不可靠的程度降到最低水平,仿照它的公理,規定了作圖公法,選取了最少的工具和最簡單的功能,由此產生了尺規作圖法。

由於實際需要的許多作圖不能用尺規作圖法完成,而且尺規作圖法雖然在理論上是準確的,可靠的,但實際操作時仍有誤差,因此,隨著科學技術的發展, 新的作圖工具不斷問世,大大豐富了作圖的內容,除一些基本作圖外,尺規作圖的實際價值已大大降低。

在初等幾何中,尺規作圖法除在理論上的作用外, 在培養學生思維能力方面也有重要作用,所以許多人認為它在數學教育中還有一定作用。

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J+W 於 星期五 十月 08, 2004 10:55 am


尺規作圖的來歷

根據現有的資料記載,歷史上最先明確提出尺規限制的是古希臘數學家伊諾皮迪斯(約公元前465年)。他首先提出並在尺規的限制下作出了在已知直線的已知點作一個角與已知角相等。此後,尺規限制逐漸成為一種公約。到公元前300年左右,歐幾裡得在《原本》中用公設的形式規定下來:
(1)兩點之間可以連結一條直線;
(2)直線可以無限延長;
(3)以任一點為中心,任意長的半徑可以作一個圓。

前兩個公設指的是直尺的作用,後一個公設指的是圓規的作用。由於《原本》的巨大影響,尺規作圖法流傳下來並沿用至今。
幾何作圖之所以要有這樣的尺規限制是古希臘人遺留下來的習慣。希臘數學的基本精神要求最初的假定越少越好,而推出的命題則越多越好。這一點突出的體現在歐幾裡得的《原本》之中。這本書從不多的幾個基本定義、公理、公設出發,推導出一系列的定理。在這種精神的指導下,對於作圖工具,自然也限制到不能再少的程度;其次受柏拉圖(公元前427~前347〉哲學思想的影響,也促使這種限制的產生。以畢達哥拉斯學派為代表的希臘人認為圓是最完美的平面圖形,圓和直線是幾何學中最基本的研究對象,有了尺規,圓和直線已經能夠作出,因此,就規定作圖只能使用這兩種工具了。

尺規作圖可能性準則

尺規作圖可能的充要條件,是所求的量能用已知量的有理式或只含平方根的無理式表示。
尺規作圖的問題都可以歸結為求某點的位置或某線段的長度。在平面上建立坐標系後,求點的位置或線段的長度,都可以化為求代數方程的解的問題。利用代數學的有關理論可以證明,如果所求的量能從己知量 經過有限次的加、減、乘、除和開平方得到,那麼這個作圖問題一定能用尺規作圖法完成;反過來,任何一個尺規作圖法能完成的作圖,所求的量一定能從己知量經過有限次的加、減、乘、除和開平方得到。

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J+W 於 星期五 十月 08, 2004 11:25 am


【只用圓規和只用直尺的幾何作圖】若對圓規和直尺作圖的各個步驟進行檢查,便會發現每一步驟包含下面三個基本作圖法中的一個:

1.找出兩條直線的交點;

II.找出一條直線與一個圓的交點;

III.找出兩個圓的交點。

用圓規找出兩個圓的交點,是很簡單的事。因此僅用圓規的作圖,只需證明它可以完成I,II兩個基本作圖法,便可完成所有的尺規作圖了。僅用圓規作圖的有代表性的結果是丹麥數學家莫爾于1672年給出證明的,他的結論是,如果把作直線解釋為求直線上的兩個點,則僅用圓規就可以解決一切尺規作圖問題。1797年意大利數學家馬斯凱羅尼于帕維亞出版的著作中,以巧妙的方法重新解答了這個問題,流傳開來。後人稱為馬斯凱羅尼圓規問題。 <br />僅用直尺作圖,能直接找到兩條直線的交點,因此僅用直尺的作圖只需證明它可以完成三個基本作圖法中的II,III,便可知它可以完成所有的尺規作圖問題了。1822年龐斯列指出如果在一平面內給出一個定圓,只用直尺就可以解決任何尺規作圖問題。1833年瑞士數學家施泰納完成了該結論的證明,後人稱為施泰納直尺問題。.

【圓規作圖】圓規作正五邊形 http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?t=7992

【圓規作圖】

已知:一圓O

求作:只用圓規將此圓四等分(拿破崙的挑戰書) 

http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?p=102035#102035

2. 【圓規作圖】

已知:點A、B

求作:只用圓規找出線段AB的中點

http://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=632&bname=ASP

3.【圓規作圖】

已知:一個圓(但不知圓心在哪)

求作:只用圓規找出這個圓的圓心

http://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=632&bname=ASP

http://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=2271&bname=ASP

http://www.chiuchang.org.tw/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=422&forum=7&9

4. 【圓規作圖】生鏽的圓規求圓心(待解中

5.【直尺作圖】

已知一圓及圓心,只用一枝直尺,請在15招內,畫出圓內接正方形

(直尺只用於畫直線,不作平行及垂直及度量長度使用) http://www.emath.pu.edu.tw/celebrate/celebrate5/math/dm/G12.htm

http://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=9072&bname=ASP

6.【直尺作圖】有兩條平行線A、B,不重疊,而C、D為A上兩點 試著只能用一沒刻度的直尺作CD線段的中點

http://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=9243&bname=ASP

7. 【直尺作圖】

有一圓 已知圓心所在為O 已知一直徑為AB P為圓上一點<br />請用直尺過P點作AB的垂線(只能畫直線的意思)

http://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=7777&bname=ASP

http://residence.educities.edu.tw/mario123/problems/rule-1.htm

8.【直尺作圖】

已知:線段AB與AB的平行線L

求作:只用直尺做出線段AB的中點

http://residence.educities.edu.tw/mario123/problems/rule-2.htm

9. 【直尺作圖】

已知:線段AB與其中點M,Ρ為線段AB外一點

求作:只用直尺過Ρ做出線段AB的平行線http://www.emath.pu.edu.tw/celebrate/celebrate5/math/dm/G12.htm

http://residence.educities.edu.tw/mario123/problems/rule-1.htm

10.【尺規作圖】

已知:線段AB

求作:三等分線段AB

http://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=10985&bname=ASP

11. 【尺規作圖】

已知:線段AB   求作:以A為圓心,B為頂點的正5邊形

12. 【尺規作圖】

已知:線段AB  求作:以A為圓心,B為頂點的正17邊形

13. 【橢圓作圖】

(1)只用圓規作橢圓

http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/tjy/edu-ellipse/ConstructEllipses.htm

(2)只用直尺作橢圓

 http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/tjy/edu-ellipse/ConstructEllipses.htm


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J+W 於 星期五 十月 08, 2004 11:29 am



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J+W 於 星期五 十月 08, 2004 11:35 am


【生鏽圓規的作圖問題】

在只用直尺和只用圓規的作圖問題解決以後,近代有些數學家研究限定其他條件的尺子和圓規的幾何作圖.例如1952年德國數學家比貝爾巴赫用直角尺和圓規解決了三等分任意角和倍立方問題。還有人證明了尺規作圖題可以只用平行直尺、直角尺、銳角尺中的一種來完成。更有趣的是1979年美國數學家佩多提出"生鏽圓規"(即開口固定的圓規)作圖問題。近年來,對這個問題的研究已取得了一些可喜的成果,但也存在不少懸而未決的作圖問題。人們在探討生鏽圓規究竟能解決哪些作圖問題。例如若已知DABC的三個頂點,用普通圓規不難找出點C',使C和C'關於AB對稱,用生鏽圓規,目前還不能完成這個簡單的作圖。人們還在研究如何對生鏽圓規的作圖問題進行代數探討。生鏽圓規的作圖問題已引起越來越多的數學家們的興趣。它的研究價值不僅是在幾何作圖方面.而更重要的是對人們邏輯思維能力的訓練,也許像研究幾何三大問題一樣,對它的研究會在數學上取得一些意外的收穫。


(1)只用直尺及生鏽圓規作正五邊形

http://sylvester.math.nthu.edu.tw/d2/talk-thsh-4-4-03/pentagon-ruler-rusty-compass.html

(2)已知兩點A、B,找出一點C使得 AB=BC=CA

http://sylvester.math.nthu.edu.tw/d2/talk-thsh-4-4-03/rusty-compass/equi-tri.html

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J+W 於 星期四 十二月 23, 2004 1:28 pm


已經給出長度為a、b、c、d的四條線段,用尺規作圖作出有外接圓,並且邊長的按逆時針順序是a,b,c,d的凸四邊形。
作圖法:
(1)作線段AD,使AD=d;
(2)延長AD至E,使DE=bc/a;
(3)作到點A與點E距離之比等於a/c的點的軌跡(如果a=c,則該軌跡是線段AE的中垂線;如果a≠c,則該軌跡是Apollonius圓);
(4)以點D為圓心,c為半徑作圓,與上面的軌跡交於兩點,取其中一點C;
(5)作點B,使其到點A的距離為a,到點C的距離為b,如果a,b,c,d是按逆時針順序排列,則四邊形ABCD就是所求的四邊形,如果a,b,c,d不是順時針排列,則取(4)的另一交點,再進行(5),得到的四邊形就是所求的四邊形。
證明:因為AB/CD=a/c,AC/CE=a/c,BC/DE=b/(bc/a)=a/c,所以△ABC∽△EDC,所以∠ABC=∠EDC,所以點A、B、C、D共圓。

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[數學]正N邊形尺規作圖

J+W 於 星期二 八月 30, 2005 10:27 am


只使用直尺和圓規,怎樣作出一個正5邊形和正6邊形呢?
  這兩個題目都很容易解答,有興趣的人不妨試一試。
  不過,只使用直尺和圓規,要作出正7邊形可就不那麽容易了。別看由6到7,僅僅只增加了一條邊,卻一躍成爲古代幾何的四大名題之一。尺規作圖題就是這樣變化莫測。
  這個看上去非常簡單的題目,曾經使許多著名數學家都束手無策。後來,大數學家阿基米德發現了前人之所以全都失敗了的原因:正7邊形是不能由尺規作出的。阿基米德從理論上嚴格證明了這一結論。
  那麽,採用尺規作圖法,究竟有哪些正多邊形作得出來,有哪些作不出來呢?
  有人猜測:如果正多邊形的邊數是大於5的質數,這種正多邊形就一定作不出來。
1  7是一個比5大的質數,按上面這種說法,正17邊形是一定作不出來的。在過去的2000年堙A確實有許多數學家試圖作出正17邊形,但無一不遭受失敗。豈料在1796年,18歲的大學生高斯居然用尺規作出了一個正17邊形,頓時震動了整個歐洲數學界。
  這件事也深深震動了高斯,使他充分意識到自己的數學能力,從此決心獻身於數學研究,後來終於成爲一代數學大師。
  高斯還發明了一個判別法則,指出什麽樣的正多邊形能由尺規作出,什麽樣的正多邊形則不能,圓滿地解決了正多邊形的可能性問題。高斯的判別法則表明,能夠由尺規作出的正多邊形是很少的,例如,在邊數是   100以內的正多邊形中,能夠由尺規作出的只有24種。
  有趣的是,正7邊形的邊數雖少,卻不能由尺現作出;而正257邊形,邊數多得叫人實際上很難畫出這樣的圖形,卻一定可由尺規作出。 1832年,數學家黎克洛根據高斯指出的原則,解決了正257邊形的作圖問題。  他的作圖步驟極其繁瑣,寫滿了80頁紙,創造了一項"世界紀錄"。
  不久,德國人赫爾梅斯又刷新了這個紀錄。他費了10年功夫,解決了正65537邊形的作圖問題。這是世界上最繁瑣的尺規作圖題。據說,赫爾梅斯手稿可以裝滿整整一手提箱呢!

尺 規 作 圖 : 正 五 邊 形

http://home.netvigator.com/~leeleung/const_001_03.html

尺 規 作 圖 : 正17邊形

http://www.vtsh.tc.edu.tw/~jck/dynamic/heptadecagon.htm

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1005010900565

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306022709344


http://hk.geocities.com/maths_mathematics_03/heptadecagon.htm

 http://www.mathland.idv.tw/fun/rn.htm#尺規作圖正多邊形


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訪客 於 星期四 一月 19, 2006 3:54 pm


似乎可以证明(6)不能用直尺作出。

訪客

 

J+W 於 星期三 二月 15, 2006 11:52 am


《只用圓規作圖》

http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/tjy/appreciation/compass/Level1.htm

http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/tjy/cabri/compass/compass.htm

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aa2191943 於 星期日 七月 23, 2006 5:55 pm


我想到一題我一直沒做出的尺規作圖:
題目: 已知一線段AB,試將之六等分,輔助線至多八條
(畫一條弧和一條直線皆算輔助線)

aa2191943
研究生
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文章: 115
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平面&空間幾何