[問題]IMO HK PRELIM 2003

[問題]IMO HK PRELIM 2003

---- 於 星期六 五月 31, 2003 3:58 pm


NO.20
完全不知如何做!
三角形ABC的周界為BC長度的7倍,而且AB<AC。DE為三角形ABC內切圓的直徑,交BC於E。A到BC的中線交DE於F。求DF/FE

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訪客
 

scsnake 於 星期六 五月 31, 2003 6:54 pm


5/7

我的解法很容易想(你應該可以想出來的),但記算有些複雜(但不難化簡)

scsnake
訪客
 

---- 於 星期六 五月 31, 2003 8:59 pm


肯定?
我的師弟尺規作圖得1/3~

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訪客
 

scsnake 於 星期六 五月 31, 2003 9:01 pm


那就當作我錯了∼


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現在在複習高中三年的數學∼

scsnake
訪客
 

---- 於 星期六 五月 31, 2003 9:06 pm


................
可以貼一下作法嗎?
可能你對的...
就像我的一位師兄做尺規作圖,結果是他錯我對,為甚麼呢?
...
...
...
因為我寫2sqrt3,他量出來的是3.5,hehe

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訪客
 

yptsoi 於 星期六 五月 31, 2003 9:18 pm


i also think the answer is 5/7.
however i think i have used some 茅招...

yptsoi
訪客
 

scsnake 於 星期三 六月 04, 2003 9:59 am


解法不甚高明... ㄏㄏㄏ

圖1
圖2

scsnake
訪客
 

Raceleader 於 星期三 六月 04, 2003 10:20 am


Using AutoCAD to measure, DF:FE=5:7

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 六月 04, 2003 1:28 pm


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

利用座標加三角方法:

設B(1,0),C(-1,0),那麼|BC|=1-(-1)=2
因為三角形ABC的周界為BC長度的7倍
所以AB+BC+CA=7BC → AB+CA=6BC=6(2)=12
因此AB+CA總長為12

我們可以利用橢圓形,想像B,C為橢圓形的兩焦點,A為橢圓周上一點。
橢圓心在(0,0),因此長,短軸分別在x軸及y軸上

設長軸的兩頂點為(a,0)及(-a,0),短軸的兩頂點為(0,b)及(0,-b),a,b為正實數
因為(1,0)→(a,0)→(-1,0)總長為12,所以a=6
因為(1,0)→(0,b)→(-1,0)總長為12,所以b=√35

橢圓形方程式為: x2/36+y2/35=1
設A(6cosθ,√35sinθ),因為AB<AC,且設A在BC之上

AB+CA=12 ---(1)

AC斜率=(√35sinθ-0)/(6cosθ+1)=√35sinθ/(6cosθ+1)
AB斜率=(√35sinθ-0)/(6cosθ-1)=√35sinθ/(6cosθ-1)

設∠ACB=2α,∠ABC=2β,M為內心,0<α,β<90°,內心在第一象限
因此∠MCB=α,∠MBC=β

tan2α=√35sinθ/(6cosθ+1)
2tanα/(1-tan2α)=√35sinθ/(6cosθ+1)
解之,得tanα=(√35/7)tan(θ/2)

tan2β=√35sinθ/(6cosθ-1)
2tanβ/(1-tan2β)=√35sinθ/(6cosθ-1)
解之,得tanβ=-(√35/7)cot(θ/2)

MC方程式為:y=(√35/7)tan(θ/2)(x+1) ---(4)
MB方程式為:y=-(√35/7)cot(θ/2)(x-1) ---(5)

解(4),(5),得M[cosθ,(√35/7)sinθ]
因此E(cosθ,0),D[cosθ,(2√35/7)sinθ]

BC的中點為O(0,0),因此OA方程式為:y=(√35/6)xtanθ ---(6)
DE方程式為: x=cosθ ---(7)
解(6),(7),得F[cosθ,(√35/6)sinθ]

DF=(5/42)√35sinθ,FE=(1/6)√35sinθ
DF/FE=(5/42)/(1/6)=5/7

Raceleader
訪客
 

Errfree 於 星期六 四月 29, 2006 9:19 am


畫成直角形, 算算看..
 
image file name: 2k89282dd03d.png
 
BC 若為 2, 那周長就是 14 .
因為 AB2 = BC2 + AC2
(14-2-AC)2 = 22 + AC2
解一元二次方程後, 可得, AC = 35/6, AB = 37/6.
 
∠C 的分角線方程 y = x    .... (∠C)
 
找 ∠B 的分角線
sin(∠B) = (35/6) / (37/6) = 35/37
cos(∠B) = 2/(37/6) = 12/37
 
tan(∠B/2) = (1 - cos(∠B)) / sin(∠B)
= (1 - (12/37)) / (35/37)
= 5/7
 
因為身為底邊的 BC = 2, 所以對邊 NC = 2 * 5/7 = 10/7.
故 ∠B 的分角線, 與 y 軸的交點, 為 (0,10/7)
因此 ∠B 的分角線方程為 (10/7)x + 2y = 2*(10/7)

10x + 14y = 20
10x + 14x = 20   ← 拿 (∠C) 式來代入, 找兩分角線的交點
x = 20/24 = 5/6  → 代入 (∠C) 式
y = 5/6   
 
此交點 (5/6,5/6) 即為圖中內切圓心, 那圓直徑就是 10/6.
因此 DE 線方程為 x=5/6   ..... (DE)
 
又圖中的 O 是 BC 一半, O 坐標 (1,0),
所以 AO 線方程為 (35/6)x + (1)y = (35/6)(1)
35x + 6y = 35
35(5/6) + 6y = 35  ← 拿 (DE) 式來代入, 找交點.
y = 35/36, 也是 FE 的長度, F (x,y) 即 (5/6, 35/36)
 
DF 長 = (直徑-FE) = (10/6 - 35/36) =  25/36
DF:FE = 25/36 : 35/36 = 5:7

Errfree
初學者
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文章: 39
註冊時間: 2006-04-16






解析幾何及三角函數