[數學]93年台中女中數學科教甄考題

[數學]93年台中女中數學科教甄考題

J+W 於 星期四 四月 20, 2006 6:40 pm


1.相異三質數,積為和的29倍,求此三數?

2.L上兩點A(0,1,2)、B(1,1,3),點P在xy平面上,若P到x軸的距離等於P到L的距離, P的軌跡方程式?

3.(1)1,2,3,...,9876,共有幾個0?
(2)1,2,3,...,9876,有0的數共有幾個?

4.有一圓,半徑為5,圓上三點A,B,C,AB=AC=8,在劣弧BC及AB、AC上分別取三點 D、E、F,△DEF為正三角形,且BE=CF,求△DEF邊長?

5.曲線1:√3(x2-y2)=2xy、曲線2:x2-y2=c(c>0),P為其交點,L1、L2分別
為過P之切線,(1)L1與L2夾角為?(2)曲線1為何種圖形?(說明理由)

6.F為拋物線:y2=4x之焦點,AB為一焦弦,ABC為正三角形,C在準線上,
求AF/BF=?(AF、BF為線段長)

7.Z為C,│Z│=1,求│Z2-Z+2│之最小值與最大值?

8.三角形ABC中,內角成等差,公差X,且csc2A、csc2B、csc2C也成等差,
求sinX?
            2003      2003
9.令a >0,k=1,2,3,...,2003,且西格馬 a =1,試證西格馬 1/1-a >2004
            k k=1       k k=1  

J+W
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piny 於 星期五 四月 21, 2006 1:43 am


第一題
 
a,b,c三相異質數
所以abc=29(a+b+c)
 
質數相乘之因式分解為本身相乘,故可令a=29
 
代入,
29bc=29(29+b+c)
bc=29+b+c
(b-1)(c-1)=30
 
b,c同為質數解只得為2,31
 
故三數為2,29,31

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GFIF 於 星期五 四月 21, 2006 2:01 am


3.(1)1,2,3,...,9876,共有幾個0?
(2)1,2,3,...,9876,有0的數共有幾個?

(1)
二位數X0,共9個
三位數XX0,X0X共有2*(9^2)=162,X00共9個
四位數XXX0,XX0X,X0XX,因為最高到9876,所以去掉99X0、990X、9890、9880
3*(9^3)-(9+9+2)=2167
XX00,X0X0,X00X(去掉9900)共3*(9^2)-1=242
X000共9個
9+162+9+2167+242+9=2589
(2)
用一個0的有9+162+2167=2338
用兩個0的有9+242=251
用三個0的有9個
2338+2*251+3*9=2867

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