[數學]93中壢高中數學科教甄考題

[數學]93中壢高中數學科教甄考題

J+W 於 星期四 四月 20, 2006 4:18 pm


1.希望之島西邊的居民都專說謊話,東邊的居民則有專說謊話的,也有專說實話的。一天一位數學家到這小島來觀光,一下飛機就有甲、乙、丙三位島上的居民爭著充當這位 數學家的導遊。數學家分別叫甲去問乙、乙去問丙、丙去問甲住在島的哪邊。結果回報 是這樣的:
甲告訴數學家"乙說他住在島的東邊"
乙告訴數學家"丙說他住在島的西邊"
丙告訴數學家"甲說他住在島的東邊"
數學家猶豫一下之後,又叫丙去問乙住在島的哪一邊,回報是這樣的:
丙告訴數學家"乙說他住在島的西邊"
你能知道甲、乙、丙分別住在島的哪一邊,是老實人或者是說謊者嗎?
2.任給8個實數 a,b,c,d,e,f,g,h。
證明:ac+bd,ae+bf,ag+bh,ce+df,cg+dh,eg+fh這6個數中至少有一個不小於 0。
3.甲乙兩人以下棋為賭,約定先贏六局者勝,敗者應付勝者100元,已知甲乙兩人棋力相等,現今甲勝兩局,乙勝一局時,比賽因故中斷,如按機率推算,乙應付給甲多少元才合理。

4.把一張紙在它所在的平面中旋轉180度時數字0、1、8、保持不變,6變成9,而9變成6,其它數字就失去了意義(例:5旋轉180度時就失去了意義)。當紙張旋轉180度時,數值不變的七位數有幾個?所有這樣的數之和是多少?其中幾個能被4整除?

5.過雙曲線xy=1上一點A作割線AB交另一支於B,且割線AB與兩坐標軸交於M、N,則AM=BN,試證之。
6.四邊形ABCD內接於圓內,證AC x BD = AB x CD + AD x BC

(後面的題目忘了)

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註冊時間: 2003-12-30

J+W 於 星期四 四月 20, 2006 4:44 pm


第一題

邏輯趣題裡的有一種很有趣的定理
”瘋子絕不會說自己是瘋子!”,所以:
【來自島的西邊的說謊者,他一定不會說自己住在島的西邊】--(A)
【來自島的東邊的說謊者,他一定不會說自己住在島的東邊】--(B)

另一個定理是”老實人永遠說老實話!”所以
【來自島的東邊的老實人,他一定只會說自己住在島的東邊】--(C)

此外,這題還必須考慮到傳話的正確性問題,我們知道
【說謊者一定會更改原本所說的話】-------------(D)
【老實人一定會保留原本所說的話】-------------(E)

關鍵是在於這兩句話

甲告訴數學家"乙說他住在島的東邊"
丙告訴數學家"乙說他住在島的西邊"

總共有4種情況,一一討論:

(1)
假設甲丙都是老實人,那麼甲丙兩個人只會真實的傳遞乙說的話。可是
甲告訴數學家"乙說他住在島的東邊"
丙告訴數學家"乙說他住在島的西邊"
這兩句話不相同,可是,乙又不是一會說謊,一會誠實的不可靠族。(這題沒有不可靠族!)
因為不管乙是說謊者,還是老實人,不管問幾次,說的內容都會一樣。
所以假設的情形不會發生。

(2)
假設甲丙都是說謊者,所以
甲告訴數學家"乙說他住在島的東邊"這句話是錯的。代表這句話本來是說"乙說他住在島的西邊"
根據(A)【來自島的西邊的說謊者,他一定不會說自己住在島的西邊】
 和(B)【來自島的東邊的說謊者,他一定不會說自己住在島的東邊】
可以得知,乙是住在島的東邊的說謊者----(F)

但是
丙告訴數學家"乙說他住在島的西邊"這句話是錯的。代表這句話本來是說"乙說他住在島的東邊"
這和結果(F)矛盾。

所以假設不成立。

(3)
假設丙是說謊者,甲是老實人,那麼根據(D)【說謊者一定會更改原本所說的話】
丙告訴數學家"甲說他住在島的東邊"這句話是錯的。代表這句話本來意思是說"甲說他住在島的西邊"
但是根據(C)【來自島的東邊的老實人,他一定只會說自己住在島的東邊】
矛盾,所以假設不成立。

(4)
假設甲是說謊者,丙是老實人,那麼根據(E)【老實人一定會保留原本所說的話】
所以丙告訴數學家"甲說他住在島的東邊"這句話應該是對的。
但是根據(B)【來自島的東邊的說謊者,他一定不會說自己住在島的東邊】
所以甲不是來自島的東邊的說謊者
所以唯一可能的是
根據(A)【來自島的西邊的說謊者,他一定不會說自己住在島的西邊】
所以甲是來自島的西邊的說謊者,丙是來自島的東邊的老實人

檢驗所有的話:

∵甲是來自島的西邊的說謊者,丙是來自島的東邊的老實人

甲告訴數學家"乙說他住在島的東邊"這句話是錯的。代表這句話本來是說"乙說他住在島的西邊"
根據(A)【來自島的西邊的說謊者,他一定不會說自己住在島的西邊】
 和(B)【來自島的東邊的說謊者,他一定不會說自己住在島的東邊】
可以得知,乙是住在島的東邊的說謊者----(F)

乙告訴數學家"丙說他住在島的西邊"這句話是錯的。根據(F)【乙是住在島的東邊的說謊者】
代表這句話本來是說"丙說他住在島的東邊"。可以得知,丙是住在島的東邊的老實人。這點和假設一致。

丙告訴數學家"甲說他住在島的東邊"這句話是對的。代表這句話本來是說"甲說他住在島的東邊"
根據(A)【來自島的西邊的說謊者,他一定不會說自己住在島的西邊】
 和(B)【來自島的東邊的說謊者,他一定不會說自己住在島的東邊】
可以得知,甲是住在島的西邊的說謊者,這點也和假設一致。

丙告訴數學家"乙說他住在島的西邊"這句話是對的。代表這句話本來是說"乙說他住在島的西邊"
這點也和(F)一致。

檢驗完畢。題目沒有邏輯錯誤。

答案:甲是住在島的西邊的說謊者,乙是住在島的東邊的說謊者,丙是住在島的東邊的老實人。

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註冊時間: 2003-12-30






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