[問題]線代問題...希望高手幫忙...謝謝

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cloudsea 於 星期四 四月 13, 2006 7:55 pm


設A是n階方陣,n>1,用adj(A)表示A的伴隨矩陣,證明: (a) rank(A)= n-1 if and only if rank(adjA)=1      (b)  rank(A)< n-1 if and only if rank(adjA)=0       希望各位大大幫忙解惑...謝謝

cloudsea
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linch6123 於 星期四 四月 13, 2006 10:31 pm


這題目對嗎?
好像怪怪的 可以找到反例

(2)
1000
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0000
0000

 
 
(1)
100
010
000
 


sorry 我會錯題意了  我以為伴隨矩陣 是A^H

linch6123
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linch6123 於 星期二 四月 18, 2006 12:32 am


若A為上三角矩陣則
(a) rank(A)= n-1 if and only if rank(adjA)=1    

(b)  rank(A)< n-1 if and only if rank(adjA)=0  可以容易驗證

我們知道任意複數方陣都可以上三角化

所以A可以和一上三角矩陣U相似

則rank(A)= rank(U)

只是無法確定rank(adjA)= rank(adjU)

如果對的話就得證了

linch6123
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cloudsea 於 星期二 四月 18, 2006 2:06 am


抱歉...可以請問一下當A是上三角,怎麼證(a)跟(b)?因為這邊我就卡住了...希望可以解惑一下...謝謝

cloudsea
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亂解一通 於 星期二 四月 18, 2006 12:48 pm


(a) rank(A)= n-1 if and only if rank(adjA)=1
 
Pf (a)
 
1.先證明 A,B為n階方陣  iff  rank(AB) ≥ rank(A)+rank(B) - n   
Note:事實上若  A 是  s by n  ,B是  n by t也會成立。
 
2.由rank(A) = n-1 保證 det(A) = 0
 
故A(adjA) = det(A)  I  = 0
 
所以rank[A(adjA)] = 0     
 
利用上面定理可以知道    0 ≥  n-1 + rank(adjA) -n    <=>   rank(adjA) ≤1 ..... (1)
 
3.又由於rank(A) =n-1  可以知道至少在Algebric Complementary Minors中有一個entry不為0
 
<=> rank(adjA) ≥ 1.....(2)
 
4. By (1),(2)   可以知道成立的條件僅在 rank(adjA) =1。 證畢!

亂解一通
訪客
 

cloudsea 於 星期三 四月 19, 2006 7:19 pm


感謝高手的解惑..謝謝

cloudsea
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