[數論]數論競賽題24

[數論]數論競賽題24

宇智波鼬 於 星期二 四月 11, 2006 7:55 pm


已知互質的二個整數a,b. 使得仍為一個正整數,試証: ab+1和4ab+1中至少有一個數是完全平方數.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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[討論]interesting

joky 於 星期三 四月 12, 2006 7:51 am


蠻有趣的題目....
只要証明 a-b 只能等於1, -1, 2, -2 的話
應該就可以解了吧....
 
思考解題的流程倒還挺好玩的

joky
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宇智波鼬 於 星期三 四月 12, 2006 6:50 pm


沒有錯...a和b只可能差1或是2.
那就請您證明看看吧^.^
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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me 於 星期三 四月 12, 2006 8:52 pm


Since (a+b)/(a-b) is an positive integer, (a+b)/(a-b)+1=2a/(a-b) is also a positive integer. Note that (a,a-b)=(a,b)=1, hence (a-b)|2, implying that a-b=1 or a-b=2.

me
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galaxylee 於 星期三 四月 12, 2006 9:02 pm


假設(a+b)/(a-b)=k,k是正整數
則a+b=k(a-b) => (a/b)=(k+1)/(k-1)
因為a,b互質,所以a/b已是最簡分數
可令k+1=at,k-1=bt,其中t是正整數
可知 t|k+1且t|k-1 => t|2 => t=1或2
若t=1,則a=k+1,b=k-1 => ab+1=k^2是完全平方數
若t=2,則a=(k+1)/2,b=(k-1)/2 => 4ab+1=k^2是完全平方數
得證

galaxylee
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[討論]找麻煩的:P

joky 於 星期三 四月 12, 2006 9:41 pm


啊~~有人解出來了, 小弟來不及解了....
好痛苦啊~~(其實根本就是不會寫)
 
我想前面的人都解得很清楚....
不過有一點, 大概太久沒接觸數學課本,
所以定義上有點不清楚
 
所謂的兩個整數互質, 這裡的兩個整數可否是負數(都是負數或一正一負)
還是互質本身就已界定是正整數才算??
 
因為如果負整數也算在內的話, 解題過程中, a-b 的可能性也有可能是-1, 或 -2
 
不過結果好像也沒影響就是了啦:P

joky
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