[轉貼]證明題

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GFIF 於 星期四 二月 19, 2004 4:36 pm


a是一個正實數,求証:根號[(a^2)-a+1],根號[(a^2)+a+1],
根號[4(a^2)+3]可以組成三角形,且它的面積與a無關

GFIF
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galaxylee 於 星期四 八月 25, 2005 12:07 am


(1)
先找最大邊,若最大邊長<另兩邊長和,就能圍成三角形。
因為a是正實數且a^2+a+1>a^2-a+1,(4a^2+3)-(a^2+a+1)=3a^2-a+2=3(a-1/6)^2 + (23/12)>0
所以√(a^2-a+1)<√(a^2+a+1)<√(4a^2+3)
[√(a^2-a+1)+√(a^2+a+1)]^2
=2a^2+2+2√(a^2-a+1)(a^2+a+1)
=2a^2+2+2√(a^4+a^2+1)
>2a^2+2+2√[a^4+a^2+(1/4)]
=2a^2+2+2√(a^2+(1/2)^2)
=2a^2+2+2[a^2+(1/2)]
=4a^2+3
=[√(4a^2+3)]^2
所以√(a^2-a+1)+√(a^2+a+1) > √(4a^2+3),此三邊能圍成三角形。

(2)
設最小兩邊的夾角為θ,由餘弦定律
4a^2+3=(a^2-a+1)+(a^2+a+1)-2√(a^2-a+1)(a^2+a+1) × cosθ
cosθ=-(2a^2+1)/[2√(a^4+a^2+1)]
可推出sinθ=(√3)/[2√(a^4+a^2+1)]
三角形面積=(1/2)*√(a^2-a+1)*√(a^2+a+1)*sinθ
              =(1/2)*√(a^2-a+1)*√(a^2+a+1)*(√3)/[2√(a^4+a^2+1)]
              =(√3)/4
三角形面積是定值,和a無關。

galaxylee
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LastKing 於 星期日 三月 19, 2006 4:53 pm


哇.....很有意思的題目....

LastKing
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數學挑戰題之『未解的難題』