想請教大家[二階齊次微分方程]的解法。
在y"+ay'+by=0時，
它的解為什麼可以假設成
y=exp(λx)
y'=λexp(λx)
y"=λ2exp(λx)
?
還有，
當a2-4b<0時，
複數的根要怎麼假設???
[問題]二階微分方程解法(已解)
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由 訪客 於 星期一 三月 13, 2006 9:44 am
若常係數齊次形，形如：y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+...+an=0，可以代解y=exp{rt}
然後可變形為(rn+a1rn-1+...+an)*exp{rt}=0 exp{rt} =\ 0 所以特徵方程式=0
事實上用這個解法只因為exp函數的特性，故嘗試代解該型式。算出來的解如果都線性獨立，將其線性組合即可得到通解。並注意n-order的微分方程必定有n個常係數。
至於複數根只需利用Euler公式，exp{(a+bi)t}=exp{at}*{cosbt+isinbt}，另一相應的共軛根為 exp{at}*{cosbt-isinbt}。但是因為複數根會成對出現，故也可以直接假設兩根的的線性組合的解為exp{at}*{C1cosbt+C2sinbt}
另外還有一種情形就是重根，假設有一k重根a，解可以設為{C1+tC2+t2C3+...+tk-1Ck} * exp{at}
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