[數論]被30整除

[數論]被30整除

宇智波鼬 於 星期日 三月 05, 2006 11:22 am


設a,b,c為三個兩兩相異之正整數.
試証:

三個數中,至少有一個數能被30所整除.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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大嘴 於 星期日 三月 12, 2006 5:36 pm


30=2*3*5

對任意二數A, B
A^3*B- A*B^3 =A*B*(A+B)*(A-B)必為2,3的倍數.

證2的倍數: 若A或B為偶數, 得證.
若A與B為奇數, 則A+B為偶數, 得證.

證3的倍數: 若A或B為3的倍數, 得證.
若A與B不為3的倍數, 則A與B為3m+1,3n+1,3p+2,3q+2任二者的組合,
3m+1,3n+1, →A-B 為3的倍數
3p+2,3q+2, →A-B 為3的倍數
3m+1,3q+2, →A+B為3的倍數

因此, 原題目對任意 (a,b,c) 的二數組合A^3*B- A*B^3必為2*3的倍數.
原題目只需證明任意三數(a,b,c)中(a,b,c,a+b,a-b,a+c,a-c,b+c,b-c)任一個為5的倍數, 即證.

若(a,b,c)中任一個為5的倍數, 得證.
若(a,b,c)皆不為5的倍數, 則(a,b,c)為(5K+1, 5K+2, 5K+3, 5K+4)K=m,n,p 任二者的組合,
若選中(a,b,c)為(+1, +2, +3, +4)重複者, 則相減為5的倍數, 得證.
若選中(a,b,c)為(+1, +2, +3, +4)不同者,
(+1, +2, +3) →(+2, +3) 相加為5的倍數;
(+1, +2, +4) →(+1, +4) 相加為5的倍數;
(+1, +3, +4) →(+1, +4) 相加為5的倍數;
(+2, +3, +4) →(+2, +3) 相加為5的倍數.
得證.

大嘴
研究生
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