[數學]歐拉對x^3+y^3=z^3沒有整數解的證明

[數學]歐拉對x^3+y^3=z^3沒有整數解的證明

J+W 於 星期五 三月 10, 2006 12:19 am


歐拉對x3+y3=z3沒有整數解的證明
歐拉利用反證法。假定x3+y3=z3有整數解,那麼 有兩個未知數必須是奇數,因此我們可以假定z是偶數而x和y是奇數,於是我 們可以改寫:

      x+y=2p 及x=y=2q

      使得 x=p+q 和 y=p-q

    由於z3=x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=2p(p2+3q2)

    因p+q和p-q是奇數,p,q不能同時是偶數或同時是奇數。而且p,q的最大公約數是1。

    由以上的式子我們可以看出不可能是「p是奇數,q是偶數」,因為不然我們就有z3能被2整除而不能被8整除,這是不可能的事。因此必須是「p是偶數,q是奇數」,於是我們推論p2+3q2是奇數。由於p和q互素(即最大公約數GCD(p,q)=1),因此2p和p2+3q2可能是互素或有一個3的因子。

第一種情況:2p和p2+3q2是互素。

    3不能整除p也不能整除z。由於2p和p2+3q2是互素,每一個一定是一個完全立方數。

    利用公式

    (a2+3b2)3=(a3-9ab2)2+3(3a2b-3b3)2

我們可以找到形如p2+3q2的立方數,通過找a和b使設

    p=a3-9ab2及q=3a2b-3b3

    (歐拉在這婸{為這是唯一的方法可以使p2+3q2是一個立方數。而這要在一百年之後用德國數學家Kummer的工作,可以證明是對的。)

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更詳細內容請詳見原文網址

http://hk.geocities.com/mathsworld2001/themes/011226.htm


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註冊時間: 2003-12-30






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