[數學]數學題

[數學]數學題

C.K.S. 於 星期六 一月 28, 2006 3:37 pm


題目是這樣的
若xεR ,則1.|x-1|+2.|x-2|+..........+9.|x-9|
在x=_____時,得最小值為______

這題的答案是7和82....可以給我詳細解法嗎??
不要叫我一個一個代= = 我會瘋掉

C.K.S.
訪客
 

訪客 於 星期六 一月 28, 2006 4:05 pm



訪客

 

大嘴 於 星期二 二月 28, 2006 1:34 pm


有兩種解法:
1.大學生解法

將題目改為: 求f(x)= (x-1)^2+2(x-2)^2+3(x-3)^2+…+9(x-9)^2 最小值

微分f(x)得 2 ( (x-1)+2(x-2)+3(x-3)+…+9(x-9) )令=0
(1+2+3---+9) x-(1+4+9---+81) =0
45 x=285
x=6.333333
當xε(6,7)時, 有最小值. x=6, 值85. x=7, 值82.


2.小學生解法

將題目想成與許多點的距離.
先思考: 求最小值|x-1|+|x-2|+......+|x-9|的意思是: 找出數線上一點, 距離1,2,3,4---,8,9九點的和最小.
答案: 這點在中央. 左邊點個數與右邊點個數相同時, 距離和最小, 即x=5時.

原題 : 1.|x-1|+2.|x-2|+..........+9.|x-9|求最小值
的意思是: 找出數線上一點, 距離1個1,2個2,3個3,4個4---,8個8,9個9的和最小.

解:
1個1,2個2,3個3,---,9個9 共有45個點,
當左邊點個數與右邊點個數相同時, 也就是22.5
當x=6, 左邊15點, 右邊24點.
當x=7, 左邊21點, 右邊17點.
則取x=7.

大嘴
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galaxylee 於 星期二 二月 28, 2006 2:21 pm


大嘴 寫到:有兩種解法:
1.大學生解法

將題目改為: 求f(x)= (x-1)^2+2(x-2)^2+3(x-3)^2+…+9(x-9)^2 最小值

微分f(x)得 2 ( (x-1)+2(x-2)+3(x-3)+…+9(x-9) )令=0
(1+2+3---+9) x-(1+4+9---+81) =0
45 x=285
x=6.333333
當xε(6,7)時, 有最小值. x=6, 值85. x=7, 值82.

f(x)= (x-1)^2+2(x-2)^2+3(x-3)^2+…+9(x-9)^2

為什麼不是當x=285/45=19/3時,f(x)有最小值f(19/3),非得取x為整數不可

又若要求 f(x) = |x-1| + |x-2| + |x-9| 的最小值,若用您的「大學生解法」作的話,

x為何值時?f(x)才有最小值?


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大嘴 於 星期二 二月 28, 2006 10:25 pm


函數f(x)= (x-1)^2+2(x-2)^2+3(x-3)^2+…+9(x-9)^2 的最小值在f(19/3),
但1.|x-1|+2.|x-2|+..........+9.|x-9|的最小值必在整數點, 這是絕對值和與平方和不同之處.



G(x) = |x-1| + |x-2| + |x-9| 的最小值
令f(x)= (x-1)^2+(x-2)^2+(x-9)^2
微分f(x)= 2 ( (x-1)+(x-2)+(x-9) )令=0
3x-12 =0
x=4
x介於2與9間 將2與9代入G
G(2) =8
G(9) =15
得x在2值為8

大嘴
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galaxylee 於 星期二 二月 28, 2006 11:04 pm


大嘴 寫到:
G(x) = |x-1| + |x-2| + |x-9| 的最小值
令f(x)= (x-1)^2+(x-2)^2+(x-9)^2
微分f(x)= 2 ( (x-1)+(x-2)+(x-9) )令=0
3x-12 =0
x=4
x介於2與9間 將2與9代入G
G(2) =8
G(9) =15
得x在2值為8
 
求f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-15|的最小值?
若用大學生解法
令 g(x)=(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2+(x-4)^2+(x-15)^2
g'(x)=0,得x=5
5介於4和15之間,將4和15代入f(x)
f(4)=17
f(15)=50
所以x=4時,f(x)有最小值17
但x=3時,f(3)=16顯然比17小,17不是最小值
請問,哪裡出錯了?

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linch6123 於 星期三 三月 01, 2006 1:20 am


f(x)=|x-1| 圖形為折線, 考慮x>1時的斜率大於0,x<1時的斜率小於0。 當x=1時有f(x)最小值

f(x)=|x-1|+|x-5|圖形為折線,1<=x<=5 時斜率為0 ,而當1<=x<=5時,f(x)有最小值

所以最小值會發生在一點(斜率正負的折點)或是在一區間(斜率為0)之處

|x-1|+2.|x-2|+..........+9.|x-9|
圖形中並沒有斜率為0的線段,所以最小值發生在一點
1+2+3+4+5+6+7>8+9
1+2+3+4+5+6<7+8+9
x=7時為斜率正負的轉折點
所以當x=7時有最小值發生


linch6123
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大嘴 於 星期三 三月 01, 2006 12:34 pm


謝謝銀河系的提醒, 大學生解法確實出錯了.
|大學生|不如|小學生|!!
Linch的解法好!

大嘴
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galaxylee 於 星期三 三月 01, 2006 6:07 pm


總結:
f(x)=(x-a1)^2+(x-a2)^2+...+(x-an)^2
g(x)=|x-a1|+|x-a2|+...+|x-an|

當x=a1,a2,...,an的算術平均數時,即x=(1/n)(a1+...+an),f(x)有最小值
當x=a1,a2,...,an的中位數時,g(x)有最小值

galaxylee
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