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如果題目是∫X^3/√(X^4+1) dX 或∫1/(X^3*√(X^4+1)) dX   就簡單多了
!!!

∫√(X^4+1) /X^3dX
用2次變數變換, 1次部分積分.

令U= 1/X^2

則dU/dX=-2/ X^3

dX /X^3=-dU/2

∫√(X^4+1) /X^3dX=-1/2∫√(1/U^2+1) dU=-1/2∫√(1+U^2)/U dU

 

令U=tanθ

則θ=arctanU

dU/dθ=sec^2 θ

∫√(1+U^2)/U dU=∫√(1+tan^2 θ)/ tanθ * sec^2 θ dθ

=∫sec^3 θ/ tanθ dθ=∫sec^2 θ *cscθ dθ

 

部分積分

f(θ)= cscθ  

g’(θ)= sec^2 θ  

g(θ)= tanθ

∫cscθ*sec^2 θ dθ=∫f(θ)* g’(θ) dθ=fg-∫f’(θ)* g(θ) dθ

= cscθ* tanθ-∫cscθ* cotθ* tanθdθ=secθ-∫cscθdθ

= secθ-(ln(cscθ- cotθ))

 

所以

∫√(X^4+1) /X^3dX=-1/2(secθ-ln(cscθ- cotθ))

=-1/2(√(U^2+1) - ln(1-1/U+1/ U^2))

=-1/2(√(1/X^4+1)- ln(1- X^2+ X^4))

 

中間有部分計算錯誤  修正如下

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部分積分
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∫cscθ*sec^2 θ dθ=∫f(θ)* g’(θ) dθ=fg-∫f’(θ)* g(θ) dθ
= cscθ* tanθ+∫cscθ* cotθ* tanθdθ=secθ+∫cscθdθ
= secθ+ln|cscθ- cotθ|

所以
∫√(X^4+1) /X^3dX=-1/2(secθ+ln|cscθ- cotθ|)
=-1/2(√(U^2+1) + ln(√(1+1/ U^2)-1/U))
=-1/2(√(1/X^4+1)+ ln(√(1+ X^4)- X^2))
=-1/2(√(X^4+1) /X^2+ ln(√(1+ X^4)- X^2))