[問題]堪根定理

[問題]堪根定理

qeypour 於 星期二 二月 28, 2006 12:10 am


實係數多項式f(x),a,b為相異實數
試證
(1)f(a)*f(b)< 0,則f(x)=0必有奇數個實根在a~b之間
(2)f(a)*f(b)> 0,則f(x)=0必有偶數個實根在a~b之間


qeypour
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大嘴 於 星期二 二月 28, 2006 2:18 pm


證:

多項式f(x)為實係數, 則y= f(x) 在平面(x, y)上為一連續曲線.
f(x)=0的實根,為y=f(x)曲線與x軸的交點.

f(a)*f(b)< 0,則點(a, f(a)) 與點(b, f(b))在x軸的異側
由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有奇數交點,
故在a~b之間有奇數個實根.

f(a)*f(b)> 0,則點(a, f(a)) 與點(b, f(b))在x軸的同側
由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有偶數交點
故在a~b之間有偶數個實根.

大嘴
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qeypour 於 星期二 二月 28, 2006 6:09 pm


大嘴 寫到:證:

多項式f(x)為實係數, 則y= f(x) 在平面(x, y)上為一連續曲線.
f(x)=0的實根,為y=f(x)曲線與x軸的交點.

f(a)*f(b)< 0,則點(a, f(a)) 與點(b, f(b))在x軸的異側
由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有奇數交點,
故在a~b之間有奇數個實根.

f(a)*f(b)> 0,則點(a, f(a)) 與點(b, f(b))在x軸的同側
由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有偶數交點
故在a~b之間有偶數個實根.
若以圖形交點的觀點來說明堪根定理

y=f(x)與x軸奇數個交點,導致f(x)=0有奇數個實根
y=f(x)與x軸偶數個交點,導致f(x)=0有偶數個實根

這樣的觀點似乎不恆真

例如f(x)=(x-1)^2*(x-2)與x軸交2點,f(x)=0卻有三個實根
怎麼會這樣?

qeypour
大 師
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大嘴 於 星期二 二月 28, 2006 10:07 pm


謝謝提醒,  忽略兩個地方.  修正如下:

多項式f(x)為實係數, 則y= f(x) 在平面(x, y)上為一連續曲線.
f(x)=0的實根個數為y=f(x)曲線與x軸的交點個數. 如果相交是切線, 則為重根, 實根個數算二.
f(a)*f(b)< 0,則f(a)與f(b)在x軸的異側,
由拓樸幾何知: 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有奇數交點(若是切線 則算重疊兩點)
故在a~b之間有奇數個實根

f(a)*f(b)> 0,則f(a)與f(b)在x軸的同側,
由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有偶數交點(若是切線 則算重疊兩點)
故在a~b之間有偶數個實根

大嘴
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