[分享]一些特殊的幾何定理

[分享]一些特殊的幾何定理

J+W 於 星期四 十月 07, 2004 11:30 pm


標題: 球眼定理
作者: Raceleader  

A,B分別是兩互不相交的圓的圓心,圓A上兩點E和F,及圓B上兩點C和D,使AC及AD為圓B的兩條切線,BE及BF為圓A的兩條切線。AC及AD分別交圓A於G和J,BE及BF分別交圓B於H和I。證明GHIJ是一矩形。
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連AB,使GJ及HI分別交AB於K及L。連AE,AF,BC及BD。AC及BE相交於M,AD及BF相交於N。

AG=AJ (半徑)
∴∠KGA=∠KJA (等腰三角形底角相等)
AC,AD為圓B的切線 (已知)
∴∠GAK=∠JAK (切線特性)
∴△GAK≡△JAK (ASA)
∴GK=JK (全等三角形的對應邊相等)
∴GJ⊥AB (穿過圓心及弦的中點的線垂直弦)

BH=BI (半徑)
∴∠LHB=∠LIB (等腰三角形底角相等)
BE,BF為圓A的切線 (已知)
∴∠HBL=∠IBL (切線特性)
∴△HBL≡△IBL (ASA)
∴HL=IL (全等三角形的對應邊相等)
∴HL⊥AB (穿過圓心及弦的中點的線垂直弦)

∠AEM=∠BCM=90° (切線垂直半徑)
∴A,B,C,E共圓 (弓形角相等的逆定理)
∴∠MAE=∠MBC (弓形角相等)
∠EMA=∠CMB (對頂角相等)
∴△MAE∼△MBC (AAA)
∴MA:MB=AE:BC (相似三角形的對應邊)
MG:MH=(MA-AG):(MB-BH)=(MA-AE):(MB-BC)=AE:BC
∴MG/GA=MH/HB
∴GH//AB (等比的逆定理)

∠AFN=∠BDN=90° (切線垂直半徑)
∴A,B,D,F共圓 (弓形角相等的逆定理)
∴∠NAF=∠NBD (弓形角相等)
∠FNA=∠DNB (對頂角相等)
∴△NAF∼△NBD (AAA)
∴NA:NB=AF:BD (相似三角形的對應邊)
NJ:NI=(NA-AJ):(NB-BI)=(NA-AF):(NB-BD)=AF:BD
∴NJ/JA=NI/IB
∴JI//AB (等比的逆定理)

∵GJ,HL⊥AB及GH,JI//AB (已證)
∴GJ//HL,GH//IJ及GJ,HL⊥GH,JI
∴GHIJ是矩形


原文來自
http://www.mathland.idv.tw/board/memo.asp?srcid=9160&bname=ASP

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[分享]梅內勞斯定理

J+W 於 星期二 十一月 23, 2004 11:07 pm


亞歷山大里的梅內勞斯(Menelaus, 約公元100年﹐他和斯巴達的Menelaus是兩個人)曾著球面論﹐重討論球面三角形的幾何性質﹒以他為名的“梅內定理”現在初等幾何和射影幾何的教科書中﹐他是証明點共線問題的重要定理﹒

(梅斯定理)証明﹕若X、Y、Z 分別是△ABC三邊BC、CA、AB或其延長線上的點﹐為了使這三點共線﹐必須且只須
XB﹒YC﹒ZA =1﹐
XC﹒YA﹒ZB
式中的三個比是有向線段的數量的比﹒

http://www.fsyz.com.cn/xxzd/dygx/c2sx0001/c2sx0001.html

http://www.52blog.net/more.asp?name=55726298&id=49092

競賽專題講座-平面幾何四個重要定理
http://www.ourmaths.com/htmlfile/p20031129142342.htm

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[分享]Steiner-Lehmus定理

J+W 於 星期二 十一月 23, 2004 11:20 pm


原作者:Raceleader

Steiner-Lehmus定理

ABC是一三角形,D及E分別在AC及AB,使BD及CE分別為∠ABC及∠ACB的角平分線,BD=CE,證明△ABC是一等腰三角形。
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點F在△ABC外,使FD=BC,且∠BDF=∠ECB。點G在AC上,使FG垂直AC。延伸FB到H,使FH垂直HC。連CF,DF,FG,FH及CH。

∠EBD=∠DBC (已知)
∠DCE=∠ECB (已知)
∴∠BDF=∠ECB=∠DCE
FD=BC (已知)
∠FDB=∠BCE (已知)
DB=CE (已知)
∴△FDB≡△BCE (SAS)
∴∠DBF=∠CEB (全等三角形的對應角)
∵∠FBC=∠DBF+∠DBC
∵∠BIC=∠CEB+∠EBD (三角形外角)
∴∠FBC=∠BIC
∵∠BIC=∠BDC+∠DCE (三角形外角)
∴∠BIC=∠BDC+∠BDF
∴∠BIC=∠CDF
∴∠FBC=∠CDF

∠FGD=∠CHB=90° (已知)
∠GDF=180°-∠CDF (直線上的鄰角)
∠HBC=180°-∠FBC (直線上的鄰角)
∴∠GDF=∠HBC
DF=BC (已知)
∴△FGD≡△CHB (AAS)
∴FG=CH (全等三角形的對應邊)

∠FGC=∠CHF=90° (已知)
FC=CF (公共邊)
FG=CH (已證)
∴△FGC≡△CHF (RHS)
∴∠GCF=∠HFC (全等三角形的對應角)
∴AC//FH (錯角相等)
∴∠FBD=∠CDB (錯角,AC//FH)
∵∠FBC=∠CDF (已證)
∴∠FBC-∠FBD=∠CDF-∠CDB
∴∠DBC=∠BDF
∴∠EBD=∠DBC=∠BDF=∠ECB=∠DCE
∠ABC=∠EBD+∠DBC
∠ACB=∠ECB+∠DCE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC (等角對邊相等)
∴△ABC是一等腰三角形

原文來自:

http://163.26.1.19/board/content.asp?ID=448&Topic=Steiner%2DLehmus%A9w%B2z&VIP=0

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[分享]西瓦定理

J+W 於 星期三 十一月 24, 2004 10:02 am


西瓦(Giovanni Ceva)

出生年代:  1647~1743


國籍: 義大利

生平: 西瓦早期受教於米蘭的基督教學院,之後在比薩就讀大學,完成學業後就任教於比薩境內的曼圖亞大學;西瓦生存在一個動盪的社會裡,西元1708年奧地利的公爵領地開始建造重型的軍事工程,西瓦也很迅速的轉移支持新的奧地利政權,免於遭受政權轉移下的迫害。西瓦是十七世紀幾何學家,論著發表約在1678──1734年之間,關於橫截線之理論,研究頗具詳盡。西元1678年所發行之De Lineis Rectis se Invicem Secan-tibus一書,內有記錄今所稱為Ceva theorem 之定理,為近代幾何重要定理之一。

用面積法證明Ceva定理 http://yll.loxa.edu.tw/jpg/a/04112409461339.gsp
http://residence.educities.edu.tw/kuen/project/area.htm

昌爸工作坊里的証明
http://www.mathland.idv.tw/jsp4/ceva.htm

用向量幾何來證明--項武義教授
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_02/page5.html
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_05/page4.html

競賽專題講座-平面幾何四個重要定理
http://www.ourmaths.com/htmlfile/p20031129142342.htm

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[分享]西姆松定理

J+W 於 星期三 十一月 24, 2004 10:34 am


羅伯西摩松 (Robert Simson)

出生地:蘇格蘭

出生年代 : 1687.10.14-1768.10.1

國籍 : 蘇格蘭

著作(或貢獻) : 圓錐曲線五論

西摩松線:有一個數學史上的錯誤,就是將1797年瓦倫斯(William Wallace,1768-1843)的發現歸功於另一個數學家西摩松(Robert Simson,1687-1768)。這個發現就是現在大家所熟知的西摩松線(Simson’s line)。


西姆松定理(Simson theorem):從三角形ABC外接圓上的任一點P向三邊AB、BC、CA分別引垂線, 則三垂足共線。


Simson線:當點P落在三角形的外接圓上,則其Simson線包絡出三角線 http://www.vtsh.tc.edu.tw/~jck/dynamic/gsp/simon01.gsp

Simson定理的推廣(傳播季刊65期p76) http://www.vtsh.tc.edu.tw/~jck/dynamic/gsp/simon02.gsp

西姆松定理的推廣
http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/student1/my/my.htm

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訪客 於 星期日 十一月 28, 2004 6:50 pm


Steiner-Lehmus定理
點F在△ABC外,使FD=BC,且∠BDF=∠ECB。點G在AC上,使FG垂直AC。延伸FB到H,使FH垂直HC。連CF,DF,FG,FH及CH。
為什麼 ∠BDF=∠ECB?

訪客

 

721 於 星期日 三月 06, 2005 4:17 pm


好難~~太難嚕!~數學這種東西需要時間~~]
c c

721
初學者
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J+W 於 星期二 二月 07, 2006 3:00 pm


Morley定理
 
是莫勒約於1904年發現的,內容如下:將任意三角形的三個角三等分,每兩條相鄰於同一邊的三等分線分別交於點X、Y、Z,則△XYZ必為正三角形。

底下的連結有三角函數的証明方式:
http://www.nani.com.tw/big5/content/2002-03/21/content_11363.htm

底下的文章的附錄有2個幾何式的証明
http://lib.fg.tp.edu.tw/science/93/M06.doc

底下的文章裡也有一個三角函數證明
http://www.sec.ntnu.edu.tw/journal/91(246-255)/255/36%E7%94%B1%E8%A7%A3%E9%A1%8C%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%88%86%E6%9E%90%E7%9A%84%E8%A7%80%E9%BB%9E1.pdf

這些證明的篇幅都很長,請慢慢消化!
 
 個人覺得J.M.Child 的證明很漂亮!
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平面&空間幾何