大嘴 寫到:有兩種解法:
1.大學生解法
將題目改為: 求f(x)= (x-1)^2+2(x-2)^2+3(x-3)^2+…+9(x-9)^2 最小值
微分f(x)得 2 ( (x-1)+2(x-2)+3(x-3)+…+9(x-9) )令=0
(1+2+3---+9) x-(1+4+9---+81) =0
45 x=285
x=6.333333
當xε(6,7)時, 有最小值. x=6, 值85. x=7, 值82.
f(x)= (x-1)^2+2(x-2)^2+3(x-3)^2+…+9(x-9)^2
為什麼不是當x=285/45=19/3時,f(x)有最小值f(19/3),非得取x為整數不可
又若要求 f(x) = |x-1| + |x-2| + |x-9| 的最小值,若用您的「大學生解法」作的話,
x為何值時?f(x)才有最小值?
大嘴 寫到:
G(x) = |x-1| + |x-2| + |x-9| 的最小值
令f(x)= (x-1)^2+(x-2)^2+(x-9)^2
微分f(x)= 2 ( (x-1)+(x-2)+(x-9) )令=0
3x-12 =0
x=4
x介於2與9間 將2與9代入G
G(2) =8
G(9) =15
得x在2值為8
f(x)=|x-1| 圖形為折線, 考慮x>1時的斜率大於0,x<1時的斜率小於0。 當x=1時有f(x)最小值
f(x)=|x-1|+|x-5|圖形為折線,1<=x<=5 時斜率為0 ,而當1<=x<=5時,f(x)有最小值
所以最小值會發生在一點(斜率正負的折點)或是在一區間(斜率為0)之處
|x-1|+2.|x-2|+..........+9.|x-9|
圖形中並沒有斜率為0的線段,所以最小值發生在一點
1+2+3+4+5+6+7>8+9
1+2+3+4+5+6<7+8+9
x=7時為斜率正負的轉折點
所以當x=7時有最小值發生