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給三個向量 a,b,c, 其中向量 a=(6,-2,0), 向量 b=(0,2,-2), 向量 c=(-1,0,-1), 若 s,t 是兩任意實數, 則新向量 a+sb+tc 之長度最小是多少?

|a+sb+tc|=|(6-t,-2+2s,-2s-t)|
=√[(6-t)^2+(2-2s)^2+(2s+t)^2]
由柯西不等式
[(6-t)^2+(2-2s)^2+(2s+t)^2]*(1+1+1) ≧ [(6-t)+(2-2s)+(2s+t)]^2
[(6-t)^2+(2-2s)^2+(2s+t)^2] ≧ 64/3
√[(6-t)^2+(2-2s)^2+(2s+t)^2] ≧ 8/√3=(8√3)/3
|a+sb+tc|的最小值=(8√3)/3
最小值出現在6-t = 2-2s = 2s+t，即s=-1/3，t=10/3

從幾何觀點來看
sb+tc=(0,2s,-2s)+(-t,0,-t)=(-t,2s,-2s-t)
X=-t.....(1)
Y=2s .....(2)
z=-2s-t....(3)
為一個平面之參數式
(1)*-1+(3)+(2)
=>x-y-z=0
故a+sb+tc之最短距離為a到sb+tc所組成平面的最短距離
故由點面距離公式知 距離為

從幾何觀點來看
sb+tc=(0,2s,-2s)+(-t,0,-t)=(-t,2s,-2s-t)
X=-t.....(1)
Y=2s .....(2)
z=-2s-t....(3)
為一個平面之參數式
(1)*-1+(3)+(2)
=>x-y-z=0
故a+sb+tc之最短距離為a到sb+tc所組成平面的最短距離
故由點面距離公式知 距離為

從幾何觀點來看
sb+tc=(0,2s,-2s)+(-t,0,-t)=(-t,2s,-2s-t)
X=-t.....(1)
Y=2s .....(2)
z=-2s-t....(3)
為一個平面之參數式
(1)*-1+(3)+(2)
=>x-y-z=0
故a+sb+tc之最短距離為a到sb+tc所組成平面的最短距離
故由點面距離公式知 距離為=8/根號3