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設|x| 表示實數x的絕對值， m、n 為任意的正整數。試求 的最小值。

宇智波鼬 寫到:設|x| 表示實數x的絕對值， m、n 為任意的正整數。試求 的最小值。

可看出２５的次方從二次方開始，其末三位都是６２５，
而７的次方末兩位為每４次一循環、末三位為每２０次一循環，
　３的次方末兩位為每２０次一循環、末三位為每１００次一循環，

故７的次方＋３的次方，其末兩位為以下循環，
即１０，５８，７０，８２，５０，７８，３０，６２，９０，９８，９０，４２，３０，１８，５０，２２，７０，３８，１０，０２

又當ｍ，ｎ為１時，所求為１５，故若絕對值相減欲比１５小，則７的次方＋３的次方之末兩位只得為１１∼３９，由上可知可為２２或３０或１８或３８。

７的１６次方＋３的１６次方末兩位為２２，且末兩位為２２時之次方為１６，３６，５６，７６，９６，．．．之次方和，又末三位為１００次一循環，故經驗算可知其百位數只可為１，３，５，７，９，可知其與２５之任一次方相減，其末三位相減絕對不可能為３。

７的１３次方＋３的１３次方末兩位為３０，且末兩位為３０時之次方為１３，３３，５３，７３，９３，．．．之次方和，又末三位為１００次一循環，故經驗算可知其百位數只可為１，３，５，７，９，可知其與２５之任一次方相減，其末三位相減絕對不可能為５。

７的１４次方＋３的１４次方末兩位為１８，且末兩位為１８時之次方為１４，３４，５４，７４，９４，．．．之次方和，又末三位為１００次一循環，故經驗算可知其百位數只可為２，４，６，８，０，可知其與２５之任一次方相減，其末三位相減出現極小可能值為７４次方，但是７的７４次方＋３的７４次方為６３位數，但是２５的次方為６３位數是出現在２５的４５次方，其首位不相等，故相減絕不可能為７。

７的１８次方＋３的１８次方末兩位為３８，且末兩位為３８時之次方為１８，３８，５８，７８，９８，．．．之次方和，又末三位為１００次一循環，故經驗算可知其百位數只可為１，３，５，７，９，可知其與２５之任一次方相減，其末三位相減絕對不可能為１３。

另外一種算法，不過要有耐心．．．
若直接考慮末三位的變化，則只需考慮百位數為６時，且其絕對差小於等於１５，可看出只有６１８符合條件，（不用考慮兩次出現的６１０，因為就算出現極小，也是１５，不影響所求）則可以直接討論６１８時之兩者位數和首位來判斷即可。

由上可知，１５為最小值，即ｍ，ｎ為１時，有最小值１５。



－－－－

以下列出７的次方＋３的次方之末三位循環（每１００次）

　　７　　　３　　　和　　　　次方

００７　００３　０１０　．．．０１
０４９　００９　０５８　
３４３　０２７　３７０　
４０１　０８１　４８２　
８０７　２４３　０５０　
６４９　７２９　３７８　
５４３　１８７　７３０　
８０１　５６１　３６２　
６０７　６８３　２９０　
２４９　０４９　２９８　
７４３　１４７　８９０　．．．１１
２０１　４４１　６４２　
４０７　３２３　７３０　
８４９　９６９　８１８　
９４３　９０７　８５０　
６０１　７２１　３２２　
２０７　１６３　３７０　
４４９　４８９　９３８　
１４３　４６７　６１０　
００１　４０１　４０２　
００７　２０３　２１０　．．．２１
０４９　６０９　６５８　
３４３　８２７　１７０　
４０１　４８１　８８２　
８０７　４４３　２５０　
６４９　３２９　９７８　
５４３　９８７　５３０　
８０１　９６１　７６２　
６０７　８８３　４９０　
２４９　６４９　８９８　
７４３　９４７　６９０　．．．３１
２０１　８４１　０４２　
４０７　５２３　９３０　
８４９　５６９　４１８　
９４３　７０７　６５０　
６０１　１２１　７２２　
２０７　３６３　５７０　
４４９　０８９　５３８　
１４３　２６７　４１０　
００１　８０１　８０２　
００７　４０３　４１０　．．．４１
０４９　２０９　２５８　
３４３　６２７　９７０　
４０１　８８１　２８２　
８０７　６４３　４５０　
６４９　９２９　５７８　
５４３　７８７　３３０　
８０１　３６１　１６２　
６０７　０８３　６９０　
２４９　２４９　４９８　
７４３　７４７　４９０　．．．５１
２０１　２４１　４４２　
４０７　７２３　１３０　
８４９　１６９　０１８　
９４３　５０７　４５０　
６０１　５２１　１２２　
２０７　５６３　７７０　
４４９　６８９　１３８　
１４３　０６７　２１０　
００１　２０１　２０２　
００７　６０３　６１０　．．．６１
０４９　８０９　８５８　
３４３　４２７　７７０　
４０１　２８１　６８２　
８０７　８４３　６５０　
６４９　５２９　１７８　
５４３　５８７　１３０　
８０１　７６１　５６２　
６０７　２８３　８９０　
２４９　８４９　０９８　
７４３　５４７　２９０　．．．７１
２０１　６４１　８４２　
４０７　９２３　３３０　
８４９　７６９　６１８　
９４３　３０７　２５０　
６０１　９２１　５２２　
２０７　７６３　９７０　
４４９　２８９　７３８　
１４３　８６７　０１０　
００１　６０１　６０２　
００７　８０３　８１０　．．．８１
０４９　４０９　４５８　
３４３　２２７　５７０　
４０１　６８１　０８２　
８０７　０４３　８５０　
６４９　１２９　７７８　
５４３　３８７　９３０　
８０１　１６１　９６２　
６０７　４８３　０９０　
２４９　４４９　６９８　
７４３　３４７　０９０　．．．９１
２０１　０４１　２４２　
４０７　１２３　５３０　
８４９　３６９　２１８　
９４３　１０７　０５０　
６０１　３２１　９２２　
２０７　９６３　１７０　
４４９　８８９　３３８　
１４３　６６７　８１０　
００１　００１　００２