YLL討論網

宇智波鼬 · 由 **宇智波鼬** 於星期四十二月 01, 2005 9:38 pm

這次出一題比較簡單的....

考慮方程式:
的正整數解.
請問,它的解共有幾組?

piny · 由 **piny** 於星期四十二月 01, 2005 9:56 pm

無限多吧

宇智波鼬 · 由 **宇智波鼬** 於星期四十二月 01, 2005 9:59 pm

答案正確...但是證明呢?

piny · 由 **piny** 於星期四十二月 01, 2005 10:24 pm

凡Y^3=H^2皆為畢氏三角形之解，如Y=4時，此時可看成滿足（Ｘ，８，Ｚ）之畢氏解，在此例有（６，８，１０）（１５，８，１７）兩解，又滿足Y^3=H^2之正整數解有無限組，故對應下來也是無限多組，更何況未含(1,1,1)(1,2,3)等非畢氏三角形之解，這樣算證明嗎...

就是答案的某一部份已經就有無限組了，故全部為無限多組

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期五十二月 02, 2005 10:04 am

x=(1/2)(y^2 - y)
z=(1/2)(y^2 + y)

y大於或等於2

所以無限多解

宇智波鼬 · 由 **宇智波鼬** 於星期五十二月 02, 2005 9:53 pm

以下是我個人的証明方法:

x^2+y^3=z^2 可寫成z^2-x^2=y^3.
我們將y^3分解成y*y^2.
我們必可以找到m,n滿足(m+n)(m-n)=y^3
而且m+n=y^2 m-n=y, 因為2m=y^2+y=y(y+1). 而n可用m求出.
因此可利用此方法,用任意一個y,即可找到對應的m及n.
而y^3=(z+x)(z-x).及我們剛剛找的m,n即是找出z,x.
因為y可有無限多個選擇,則(x,y,z)之數對也可以有無限多組.

証畢.

YLL討論網

[數論]數論競賽題21

[數論]數論競賽題21