[代數]代數競賽題5

[代數]代數競賽題5

宇智波鼬 於 星期一 十一月 28, 2005 8:20 pm


令x=a+b-c, y=a+c-b, z=b+c-a,其中a,b,c均為素數.且x^2=y.
並且:是一個素數的平方,請求出abc的積.
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宇智波鼬

 
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Re: [代數]代數競賽題5

piny 於 星期一 十一月 28, 2005 9:01 pm


宇智波鼬 寫到:令x=a+b-c, y=a+c-b, z=b+c-a,其中a,b,c均為素數.且x^2=y.
並且:是一個素數的平方,請求出abc的積.


由題意可知:
x+y=2a
y=x^2代入
所以x+x^2=2a

因為x=a+b-c,故x為三質數之加減值,故必為整數,故上述方程式有整數解。

又a為質數,故2a之質因數只有二個,即2和a
所以x+x^2=2a之因式分解只得為(x-2)(x+a)或(x+2)(x-a)

當因式分解為(x-2)(x+a)時,a=3,符合題意。
當因式分解為(x+2)(x-a)時,a=1,a不為質數,矛盾。

故a=3,故x=2或-3

當x=2時,y=4,且y-x=2(c-b)=2
故c-b=1,又b,c為質數,故上開唯一解為b=2,c=3
所以z=b+c-a=2+3-3=2,不符合√z-√y=某質數平方,矛盾。

當x=-3時,y=9,且y-x=2(c-b)=12
故c-b=6,亦即c,b同為奇數,
又x+y+z=a+b+c,
得6+z=3+b+c,故知z亦為奇數
代入√z-√y=d^2(令d為某質數)
得√z-3=d^2,故知d為偶數,故d=2,z=49

又z=b+c-a,得b+c=52,
前式可知c-b=6,故b=23,c=29

整理如下,此解亦為唯一
(a,b,c)=(3,23,29)
(x,y,z)=(-3,9,49)

故abc=2001

piny
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