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令x=a+b-c, y=a+c-b, z=b+c-a,其中a,b,c均為素數.且x^2=y.
並且:是一個素數的平方,請求出abc的積.

宇智波鼬 寫到:令x=a+b-c, y=a+c-b, z=b+c-a,其中a,b,c均為素數.且x^2=y.
並且:是一個素數的平方,請求出abc的積.

由題意可知：
ｘ＋ｙ＝２ａ
ｙ＝ｘ^２代入
所以ｘ＋ｘ^２＝２ａ

因為ｘ＝ａ＋ｂ－ｃ，故ｘ為三質數之加減值，故必為整數，故上述方程式有整數解。

又ａ為質數，故２ａ之質因數只有二個，即２和ａ
所以ｘ＋ｘ^２＝２ａ之因式分解只得為（ｘ－２）（ｘ＋ａ）或（ｘ＋２）（ｘ－ａ）

當因式分解為（ｘ－２）（ｘ＋ａ）時，ａ＝３，符合題意。
當因式分解為（ｘ＋２）（ｘ－ａ）時，ａ＝１，ａ不為質數，矛盾。

故ａ＝３，故ｘ＝２或－３

當ｘ＝２時，ｙ＝４，且ｙ－ｘ＝２（ｃ－ｂ）＝２
故ｃ－ｂ＝１，又ｂ，ｃ為質數，故上開唯一解為ｂ＝２，ｃ＝３
所以ｚ＝ｂ＋ｃ－ａ＝２＋３－３＝２，不符合√ｚ－√ｙ＝某質數平方，矛盾。

當ｘ＝－３時，ｙ＝９，且ｙ－ｘ＝２（ｃ－ｂ）＝１２
故ｃ－ｂ＝６，亦即ｃ，ｂ同為奇數，
又ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ＋ｂ＋ｃ，
得６＋ｚ＝３＋ｂ＋ｃ，故知ｚ亦為奇數
代入√ｚ－√ｙ＝ｄ^２（令ｄ為某質數）
得√ｚ－３＝ｄ^２，故知ｄ為偶數，故ｄ＝２，ｚ＝４９

又ｚ＝ｂ＋ｃ－ａ，得ｂ＋ｃ＝５２，
前式可知ｃ－ｂ＝６，故ｂ＝２３，ｃ＝２９

整理如下，此解亦為唯一
（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，２３，２９）
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（－３，９，４９）

故ａｂｃ＝２００１