YLL討論網

assasins · 由 **assasins** 於星期三九月 28, 2005 7:58 pm

(1)證明一個完全平方數n被4除之的餘數為0或1。
(2)滿足a^2+b^2=c^2的正整數解a,b,c中，至少有一個是4(3)的倍數。
(3)形如3n+2的整數不可能是完全平方數。
(4)證明對於自然數k，若2^k+1為質數，則k必為質數。
(5)求證：在11,111,1111,11…111, 沒有完全平方數。

另外還有一些

(1)要怎樣把n^4+6n^2+25快速因式分解
有沒有些技巧之類的?
(2)關於"韓信點兵"的問題,老師教的方法多多少少都要帶一點數字,請問有沒有不用的方法?
或者需要帶的數字最少的方法?

最後有一題只是個人想要問問而已XD
要怎樣證明圓週率是一個無限循環小數!?

數學好好玩 · 由 **數學好好玩** 於星期三九月 28, 2005 8:02 pm

奇數一定為4k+1,4k+3，平方後除以4都餘1。
偶數為2k的平方
所以為四的倍數

lcflcflcf · 由 **lcflcflcf** 於星期三九月 28, 2005 8:02 pm

1)
m=2k+1or2k(奇數或偶數)
let m^2 be n
n=(2k)^2 or (2k+1)^2
n=4k^2 or 4(k^2+k)+1
所以一個偶數的平方可被四整除
奇數平方被四除餘一

lcflcflcf · 由 **lcflcflcf** 於星期三九月 28, 2005 8:10 pm

3)
任何自然數可表示為3k,3k+1或3k+2
(3k)^2=9k^2
(3k+1)^2=3(3k^2+2k)+1
(3k+2)^2=3(3k^2+4k+1)+1
所以任何數平方只可表示為3n或3n+1

數學好好玩 · 由 **數學好好玩** 於星期三九月 28, 2005 8:10 pm

n^4+6n^2+25=n^4+10n^2+25-4n^2
=(n^2+5)^2-(2n)^2
=(n^2+2n+5)(n^2-2n+5)

數學好好玩 · 由 **數學好好玩** 於星期三九月 28, 2005 8:14 pm

任何數皆為3n,3n-1,3n+1
(3n)^2=9n^2
(3n-1)^2=9n^2-6n+1
(3n+1)^2=9n^2+6n+1
所有平方是皆不為3n+2

lcflcflcf · 由 **lcflcflcf** 於星期三九月 28, 2005 8:19 pm

5)
用題(1)的結果
而1,11,111..都是奇數
所以這些數被4除後必餘1
易知11被4除後餘3,不為平方數
而任何數只需判斷最後兩個位的值就能知道該數是否4的倍數及餘數
而那些數最後兩位都是11
所以被4除必除3
所以都不是平方數

qeypour · 由 **qeypour** 於星期四九月 29, 2005 10:45 am

第2題(a)
假a,b,c都不為3的倍數
a,b,c除以3餘1或2
a^2,b^2,c^2除以3都餘1
a^2+b^2除以3餘2
c^2除以3餘2,矛盾,得證

第2題(b)
a^2+b^2=c^2
{a,b}={2mn,m^2-n^2},c=m^2+n^2,其中m,n都是整數
假設a,b,c都不為4的倍數m,n除以4餘1或3
m^2,n^2除以4都餘1
m^2-n^2必為4的倍數
a,b中有一數為4的倍數
矛盾,得證

galaxylee · 由 **galaxylee** 於星期四九月 29, 2005 12:24 pm

第(4)題本身就有問題
取k=4，(2^4)+1=17是質數
但4不是質數。

所以命題應改成證明：「對於自然數k，若2^k-1為質數，則k必為質數。」
而這題已被qeypour證過了

piny · 由 **piny** 於星期三十一月 09, 2005 11:52 pm

qeypour 寫到:第2題(a)
假a,b,c都不為3的倍數
a,b,c除以3餘1或2
a^2,b^2,c^2除以3都餘1
a^2+b^2除以3餘2
c^2除以3餘2,矛盾,得證

第2題(b)
a^2+b^2=c^2
{a,b}={2mn,m^2-n^2},c=m^2+n^2,其中m,n都是整數
假設a,b,c都不為4的倍數m,n除以4餘1或3
m^2,n^2除以4都餘1
m^2-n^2必為4的倍數
a,b中有一數為4的倍數
矛盾,得證

對不起，不是想要問這題，之前有研究過畢氐三角形組(即三邊為整數且互質)是否必恰有一個是三的倍數，恰有一個是四的倍數，恰有一個是五的倍數？

如果依qeypour大大上述作法，可否證明上述猜想(是我自己猜想的)？

http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?t=29458
這篇也是我寫的，幫忙想想囉~~

---

不是想故意發古文，順便說明一下n^4+6n^2+25快速因式分解

n^4+6n^2+25=(n^2+5)^2-(2n)^2=(n^2+2n+5)(n^2-2n+5)

因式分解沒什麼技巧可言，多做題目培養直覺吧

---

已證出成立，以下為我在自己網誌上整理的證明，與大家分享。

此種證明，先證明存在，再證其唯一。
以下稱左式為ａ^２＋ｂ^２，右式為ｃ^２。

Ａ．證其存在。

１．有三的倍數？
　　若（ａ，ｂ，ｃ）皆非三的倍數，則其被三除之之餘數只有兩種可能：餘一或餘二。又非三倍數之平方被三除之必餘一，故左式被三除餘二，而右式被三除餘一，矛盾。故假設不成立，故必有三的倍數。

２．有四的倍數？
　　先介紹一個定理，任可畢氏組皆可表為（ｍ^２－ｎ^２，２ｍｎ，ｍ^２＋ｎ^２）。先證此定理成立。很顯然地，（ａ，ｂ，ｃ）必兩兩互質，因為若其任兩數有大於一之公因數，則等式恒等下，第三數必有可被其因數除之，則此組即不為畢氏組。

　　再來考慮（ａ，ｂ，ｃ）之奇偶性。

　　情況一：ａ，ｂ同為奇數，則ｃ為偶數。因為奇數平方被四除必餘一，而偶數平方必可被四整除，故此時左式被四除餘二，而右式可被四整除，矛盾，故情況一不成立。
　　
　　情況二：ａ，ｂ同為偶數。則ａ，ｂ必不互質，因其至少有二可為公因數，矛盾，故情況二不成立。

　　因此情況三不必討論下必為唯一合理情況，在不失一般性假設下，可令ｂ為偶數，則我們可知ｃ－ａ，ｃ＋ａ之最大公因數為二，證明此略（可從ａｃ皆為奇數討論即可），又ｂ^２＝（ｃ＋ａ）（ｃ－ａ），故可令ｃ＋ａ＝２ｍ^２，ｃ－ａ＝２ｎ^２，此時解之即為上述通解。

　　故由此定理可知２ｍｎ必為畢氏組之某項，又ｍ，ｎ互質且一奇一偶，故２ｍｎ必可被四整除。

３．有五的倍數？
　　若（ａ，ｂ，ｃ）皆非五的倍數，則其被五除之之餘數只有四種可能：餘一或餘二或餘三或餘四。則其平方被五除之之餘數只有兩種可能，餘一或餘四。

　　故其餘數可能組合有六種：
　　（餘一，餘一，餘四）、（餘一，餘一，餘一）、
　　（餘一，餘四，餘四）、（餘一，餘四，餘一）、
　　（餘四，餘四，餘四）、（餘四，餘四，餘一）。

　　又等式兩邊同除某數，其餘數必相同，故可知此六種組合皆不存在，矛盾。故假設不成立，故必有五的倍數。

Ｂ．證其唯一。

　　由Ａ之１，２，３，可證其存在倍數，若非唯一，則此必不為畢氏組，理由已前述，故為唯一。

由Ａ，Ｂ，故命題成立。

qeypour · 由 **qeypour** 於星期四十一月 10, 2005 12:59 am

piny 寫到:
qeypour 寫到:第2題(a)
假a,b,c都不為3的倍數
a,b,c除以3餘1或2
a^2,b^2,c^2除以3都餘1
a^2+b^2除以3餘2
c^2除以3餘2,矛盾,得證

第2題(b)
a^2+b^2=c^2
{a,b}={2mn,m^2-n^2},c=m^2+n^2,其中m,n都是整數
假設a,b,c都不為4的倍數m,n除以4餘1或3
m^2,n^2除以4都餘1
m^2-n^2必為4的倍數
a,b中有一數為4的倍數
矛盾,得證

對不起，不是想要問這題，之前有研究過畢氐三角形組(即三邊為整數且互質)是否必恰有一個是三的倍數，恰有一個是四的倍數，恰有一個是五的倍數？

如果依qeypour大大上述作法，可否證明上述猜想(是我自己猜想的)？

http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?t=29458
這篇也是我寫的，幫忙想想囉~~

---

不是想故意發古文，順便說明一下n^4+6n^2+25快速因式分解

n^4+6n^2+25=(n^2+5)^2-(2n)^2=(n^2+2n+5)(n^2-2n+5)

因式分解沒什麼技巧可言，多做題目培養直覺吧

你的猜想是對
假設a,b,c都不是5的倍數
m,n 除以5餘 1或2或3或4
m^2,n^2除以5餘1或4
將除以5的餘數表列如下

m^2                         1      4     4      1
n^2                          1      1     4      4
m^2+n^2           2       0     3      0
m^2-n^2            0       3     0      2
由上表之知m^2+n^2及m^2-n^2中必有一者為5的倍數

piny · 由 **piny** 於星期四十一月 10, 2005 9:55 am

哈哈，好簡潔的證法，可能是小弟資質太差吧，這題我一個人想了好幾年說，之前一直用窮舉法想找反例，以致於發現了另一個猜想，原題也發表過，不過尚無大大給過任何提示

http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?t=29397

謝謝qeypour大大

YLL討論網

[數學]一些證明題還有些題目

[數學]一些證明題還有些題目