[討論]sinx/x極限問題

[討論]sinx/x極限問題

chongxe 於 星期三 五月 11, 2005 4:04 pm


lim sin(x)/x , x->0  = 1
proof?

chongxe
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Eclipse 於 星期五 五月 20, 2005 8:43 am


solution 1
using 挾擠定理
because sin(x) is a continuous function  so that

lim sin(x), x-> 0+ = lim sin(x), x->0-

(左極限=右極限=極限值)

so lim sin(x), x->0 = x
so lim (sin(x))/x , x->0 = lim x/x ,x->0 =1


solution 2
using L'Hospital's rule
lim [sin(x)/x] ,x->0 為0/0 ,分子分母各對x微分一次
==> lim [sin(x)/x]  = lim [cos(x)/1] = lim cos(x), for x->0 =1

Eclipse
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hycheah2000 於 星期二 五月 31, 2005 9:57 pm


不能用羅比達來證明
因為在微分sinx時,就已經用了lim sinx/x=1 (x→0)
這個結果

hycheah2000
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vvack123 於 星期五 十月 21, 2005 7:45 pm


這題如果做圖會不會比較快  因為x->0  在x->0的的區域  sinx的圖形  與 直線x=y
幾乎完全重疊  所以答案等於 1
哈哈哈

vvack123
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hycheah2000 於 星期五 十月 28, 2005 10:53 pm


感覺上是知道了答案反推回去的作法

hycheah2000
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linch6123 於 星期三 十一月 09, 2005 1:29 am


hycheah2000 寫到:不能用羅比達來證明
因為在微分sinx時,就已經用了lim sinx/x=1 (x→0)
這個結果



是的
sinx微分=lim {sin(x+h)-sinx}/h     h→0
           =lim{sinxcosh+cosxsinh-sinx}/h     h→0
           =lim(cosxsinh)/h     h→0
利用lim sinh/h=1 (h→0)
推得
    sinx微分=lim cosx lim(sinh)/h      h→0
               = cosx


考慮單位圓上
利用面積的方法得
當 0<x<pi/2時
sinx<x<tanx

1< (x/ sinx)< (tanx/ sinx)=(1/cosx)

1<lim (x/ sinx)<lim (1/cosx)   x→0+

1 <= lim (x/ sinx) <= 1   x→0+

lim (x/ sinx)=1   x→0+

lim (sinx/ x)= lim{1/ (x/ sinx)}=1/{lim(x/ sinx)}=1   x→0+

lim (sinx/ x)=  x→0-
= lim (sin(-x)/( -x))=  x→0+
=lim (sinx/ x)=  x→0+
=1

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