YLL討論網

求的整數解

x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)  
令xy+yz+zx=t 則x^2+y^2+z^2=9-2t
又x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
則3-3xyz=3(9-2t-t) 則xyz=3t-8
所以x,y,z為A^3-3A^2+tA+8-3t=0之三根
則A^2(A-3)+t(A-3)=-8 則(A-3)(A^2+t)=-8
分別考慮A-3=1,-1,2,-2,4,-4,8,-8之情形
僅A-3=1且A^2+t=-8合，此時A=4,t=-24 代入得A^3-3A^2-24A+80=0
則(A-4)^2*(A+5)=0 所以A=4,4,-5 所以(x,y,z)=(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)

(1,1,1)也是一解

謝謝piny指正我檢驗時粗心算錯A-3=-2且A^2+t=4亦合
，此時A=1,t=3 代入得A^3-3A^2+3A-1=0 則(A-1)^3=0
所以A=1,1,1 因此應再增加(x,y,z)=(1,1,1)

嗯！應該就是這四組解，以下為另一種方法，

將x=3-y-z代入x^3+y^3+z^3=3

經化解可得(y-3)(z-3)(y+z)=8......(1)

由於y,z為整數，所以y之可能值為-5,-1,1,2,4,5,7,11

分別代入(1)解z之方程式即可

可得(y,z)=(1,1),(4,4),(4,-5),(-5,4)

所以(x,y,z)=(1,1,1),(-5,4,4),(4,4,-5)(4,-5,4)

x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=3[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)]

3-3xyz=3[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)]
=>1-xyz=9-3(xyyz+zx)
=>xyz-3(xy+yz+zx)+8=0
=>xyz-3(xy+yz+zx)+9(x+y+z)-27=-8
=>(x-3)(y-3)(z-3)=-8
(x,y,z)=(-5,4,4),(4,-5,4),(4,4,-5),(1,1,1)
(有別解法在提供吧)