[問題]函數方程式(2)

[問題]函數方程式(2)

galaxylee 於 星期四 九月 29, 2005 4:46 pm


1.試求多項式p(x),使其滿足p(x^2+1)=(p(x))^2 + 1,且p(0)=0

2.試求連續函數f使得f(x)=cos(x/2)×f(x/2),且f(0)=1

3.函數f(x)為實變數函數,若對任意實數a,b,f(a+b)=f(ab)且f(1/2)= -1/2,求f(x)

galaxylee
副教授
副教授
 
文章: 555
註冊時間: 2005-07-18

Re: [問題]函數方程式(2)

piny 於 星期日 十月 30, 2005 1:14 am


galaxylee 寫到:1.試求多項式p(x),使其滿足p(x^2+1)=(p(x))^2 + 1,且p(0)=0


當x=0時,p(1)=1
當x=1時,P(2)=2
當x=2時,P(5)=5
當x=5時,P(26)=26

所以推論p(x)=x,代回原式成立

piny
大 師
大 師
 
文章: 398
註冊時間: 2005-10-15
來自: 台北市

Re: [問題]函數方程式(2)

piny 於 星期日 十月 30, 2005 1:21 am


galaxylee 寫到:
3.函數f(x)為實變數函數,若對任意實數a,b,f(a+b)=f(ab)且f(1/2)= -1/2,求f(x)


既a,b可為任意數,可先令a=0,所以左式f(a+b)=f(b),右式f(ab)=f(0)
所以存在無限組實數代入,其值皆為f(0)

又a=0,b=1/2時,原式為f(1/2)=f(0)=-1/2

故唯一解必為f(x)=-1/2

piny
大 師
大 師
 
文章: 398
註冊時間: 2005-10-15
來自: 台北市






代數學