[數學]解析幾何建立的故事

[數學]解析幾何建立的故事

J+W 於 星期三 十月 26, 2005 1:31 pm


一句話,科學的需要和對方法論的興趣,推動了費爾馬和笛卡爾對座標幾何的研究。
  費爾馬,出身于商人家庭,學法律並以律師爲職業,數學只是他的業餘愛好。雖然他只能利用閒暇時間研究數學,但他對數論和微積分做出了第一流的貢獻。並同巴斯卡(Passcal)一同開創了概率論的研究工作,他和笛卡爾都是座標幾何的發明者。
  費爾馬關於曲線的工作,是從研究古希臘幾何學家,特別是阿波羅尼(Apollonius)開始的。阿波羅尼的《論平面軌迹》一書久已失傳,而費爾馬是把它重新寫出來的人之一。他用代數來研究曲線。他說,他打算發起一個關於軌迹的一般研究,在這種研究是古希臘人沒做到的。1629年他寫了一本《平面和立體的軌迹引論》(1679年發表),書中說,他找到了一個研究有關曲線問題的普遍方法。
  費爾馬的座標幾何研究怎樣産生的,我們不知道,很可能把阿波羅尼的結果,直接翻譯成代數的形式。他考慮任意曲線和它上面的一般點J,J的位置用A、E兩個字母定出:A是從原點O沿底線到點Z的距離,E是從Z到J的距離。它所用的座標,就是我們現在的斜座標。但是Y軸沒有明白出現,而且不用負數,它的A,E就是我們現在的X,Y.
  費爾馬把他的一般原理,敍述爲“只要在最後的方程堨X現兩各未知量,我們就得到一個軌迹,這兩個量之一, 其末端描繪出一條直線或曲線。”前文中對不同位置的E,其末端J,J‘,J’‘……就把“線”描出,它的未知量A和E,實際是變數。或者可以說,聯繫A和E的方程是不定的。他寫出聯繫A、E的各種方程,並指明它們所描繪的曲線。例如,他給出方程(用我們現在的寫法就是)d x = b y,並指出這代表一條直線。他又給出d (a-x) = b y,並指出它也表示一條直線。方程p2-x2 = y2代表一個圓。a2+x2 = k y2和xy = a各代表一條雙曲線,x2 = ay代表一條抛物線,而且費爾馬確實領悟到坐標軸可以平移和旋轉。因爲他給出一些較複雜的二次方程,並給出它們可以簡化到的簡單形式。他肯定地得到如下結論:一個聯繫著A、E的方程,如果是一次的就代表直線,如果是二次的就代表圓錐曲線。
  笛卡爾,首先是一位傑出的近代哲學家。他是近代生物學的奠基人、第一流的物理學家,同時也是一位數學家。它的父親是一位相當富有的律師。笛卡爾大學畢業後去巴黎當律師,在那堨L花了一年的時間,跟兩位神甫一起研究數學。其後九年中,他曾在幾個軍隊中服役,但他一直研究數學。在荷蘭布萊達地方的招貼牌有一個挑戰性的問題,被他解決了。這使他自信有數學才能,從而開始用心於數學。回到巴黎後,他爲望遠鏡的威力所激動,又一心鑽研光學儀器的理論和構造。1682年他32歲時移居荷蘭,得到較爲安靜自由的學術環境,在那埵矰F二十年,寫出了著名的作品。1649年他被邀請去做瑞典女皇的教師,第二年在那堭w肺炎逝世,享年五十四歲。
  1637年笛卡爾寫的《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》一書出版,這是一本文學和哲學的經典著作,包括三個著名的附錄:《幾何》、《折光》和《隕星》。《幾何》是他所寫的唯一一本數學書,他關於座標幾何的思想,就包括在它的這本《幾何》中。笛卡爾的其他著作有《思想的指導法則》,《世界體系》,《哲學原理》,《音樂概要》。
  笛卡爾是通過三個途徑來研究數學的,作爲一個哲學家,他把數學方法看作是在一切領域建立真理的方法來研究。作爲自然科學的研究者,它廣泛地研究了力學、水靜力學、光學和生物學等各個方面,它的《幾何》的一部分和《折光》都是講光學的。作爲一個關心科學用途的人,他強調把科學成果付之應用。在這一點上,他同希臘人明白地公開決裂。由於他注意到數學的力量,他就是要去尋找數學的用途。他不推崇純粹數學,他認爲數學不是思維訓練,而是一門建設性的有用科學。他認爲把數學方法用到數學本身是沒有價值的,因爲這不算是研究自然。那些爲數學而搞數學的人,是白費精力的盲目研究者。
  笛卡爾對當時幾何和代數的研究方法進行了分析和比較,他認爲沒有任何東西比幾何圖形更容易印入人的腦際了。因此用這種方式表達事物是非常有益的,但他對歐幾媦w幾何中的每一個證明都要求某種新的往往是奇巧的想法,這一點深感不安。他還批評希臘人的幾何過多地依賴於圖形。他完全看到了代數的力量,看到他在提供廣泛的方法論方面,高出希臘人的幾何方法。他同時強調代數的一般性,以及它把程式機械化和把解題工作量減小的價值。他看到代數具有作爲一門普遍的科學方法的潛力。他對當時通行的代數也加以批評,說它完全受公式和法則的控制,不像一門改進思想的科學。因此它主張採取代數和幾何中一切最好的東西,互相以長補短。它所作的工作就是把代數用到幾何上去。在這堙A他對方法的普遍興趣和他對代數的專門知識,就組成了聯合力量,於是就産生了它的《幾何》一書。
  在《幾何》一書中,他開始仿照韋達(Vjeta)的方法,用代數解決幾何作圖題,後來才逐漸出現了用方程表示曲線的思想。
  在《幾何》第一卷的前一半中,笛卡爾用代數解決的只是古典的幾何作圖題,這只不過是代數在幾何上的一個應用,並不是現代意義下的解析幾何。
  下一步,笛卡爾考慮了不確定的問題,其結果可以有很多長度作爲答案。這些長度的端點充滿一條曲線。他說:“也要求發現並描出這條包括所有端點的曲線”。曲線的描出,根據於最後得到的不定方程,笛卡爾指出:對於每一個x,長度y滿足一個確定的方程,因而可以畫出。
  笛卡爾的做法,是選定一條直線作爲基線,以點A爲原點,x值是基線上從A量起一個線段的長度。y是由基線出發與基線作成一個固定角度的一個線段的長度。這個坐標系我們現在叫作斜角坐標系。笛卡爾的x、y只取正值,即圖形在第一象限內。
  有了曲線方程的思想之後,笛卡爾進一步發展了它的思想。
  1、曲線的次數與坐標軸的選擇無關。
  2 、同一坐標系中兩個曲線的方程聯立,可解出交點。
  3 、曲線概念的推廣,古希臘人說平面曲線是可以用直尺和圓規畫出的曲線,而笛卡爾則排斥了這種認爲只有用直尺和圓規畫出的曲線才是合法的思想,他提出,那些可用一個唯一的含x和y的有限次代數方程表示出的曲線,都是幾何曲線。這樣,例如蔓葉線(x3+y3-3a xy=0)和蚌線都被承認是幾何曲線,其他如螺線等,笛卡爾稱之爲機械曲線 [萊布尼茲(Leibniz)後來把它們分別稱之爲代數曲線和超越曲線]。笛卡爾對曲線概念的這一推廣,取消了曲線是否存在看它是否可以用圓規和直尺畫出這個判別標準,不但接納了以前被排斥的曲線,而且開闢了整個曲線領域,牛頓(Newton)1707年稱這是“把所有何以用方程表示的線都接收到幾何堙芋C
  從上面的敍述我們可以看出,費爾馬和笛卡爾良人各自都研究了座標幾何,但他們研究的目的和方法卻有明顯不同。費爾馬著眼于繼承古希臘的思想,認爲自己的工作是重新表述了阿波羅尼的工作。而笛卡爾批評了希臘人的傳統,主張和這個傳統決裂。雖然用方程表示曲線的思想,在費爾馬的工作中更爲明顯,但應該說真正發現代數方法的威力的是笛卡爾。
  有種種原因,使座標幾何的思想——用代數方程表示並研究曲線的思想,在當時沒有很快地被數學家們熱情地接受並利用。
  一個原因是因爲費爾馬的書《軌迹引論》到1679年才出版,而笛卡爾的《幾何》中對幾何作圖題的強調,遮蔽了方程和曲線的主要思想。事實上,許多和他同時代的人,都認爲座標幾何主要是解決作圖問題的工具,甚至萊布尼茲說笛卡爾的工作是退回到古代。雖然笛卡爾本人確實知道,它的貢獻遠遠不限於提供一個解決作圖問題的工具,他在《幾何》的引言中說:“我在第二卷中所作的關於曲線性質的討論,以及考察在這些性質的方法,根據我看遠遠超出了普通幾何的論述。”但他利用曲線方程之處,確實被他的作圖問題所掩蓋。
  座標幾何傳播速度緩慢的另一個原因,是笛卡爾的書《幾何》寫得使人難懂。書中許多模糊不清之處,是他故意搞的。它說歐洲幾乎沒有一個數學家能讀懂他的著作,他只約略指出作圖法和證法,而留給別人去填寫入細節。他在一封信中把他的工作比作建築師的工作,只是定出計劃,指明什麽是應該做的,而把手工操作留給木工和瓦工。他還說:“我沒有做過任何不經心得刪節,但我預見到,對於那些自命無所不知的人,我如果寫的使他們能充分理解,他們將不失機會地說我寫的都是他們已經知道的東西。” 還有另一理由,在《幾何》中他說,他不願意奪去讀者們自己進行加工的樂趣。的確,它的思想必須從它的書中許多解出的例題堨h推測,他說,他之所以刪去絕大多數定理的證明,是因爲如果有人不嫌麻煩而去系統地考察這些例題,一般定理的證明就成爲顯然的了,而且照這樣去學習是更爲有益的。
  影響座標幾何被迅速接收的原因,還有一個是許多數學家反對把代數和幾何結合起來,認爲數量運算和幾何量的運算要加以區別,不能混淆。再一個原因是當時代數被認爲是缺乏嚴密性的。
  上述種種原因,雖然阻礙了對費爾馬和笛卡爾的貢獻的瞭解,但也有很多人逐漸採用並擴展了座標幾何。
  二、解析幾何的重要性
  解析幾何出現以前,代數已有了相當大的進展,因此解析幾何不是一個巨大的成就,但在方法論上卻是一個了不起的創建。
  1、笛卡爾希望通過解析幾何引進一個新的方法,他的成就遠遠超過他的希望。在代數的幫助下,不但能迅速地證明關於曲線的某些事實,而且這個探索問題的方式,幾乎成爲自動的了。這套研究方法甚至是更爲有利的。用字母表示正數、負數,甚至以後代表複數時,就有了可能把綜合幾何中必須分別處理的情形,用代數統一處理了。例如,綜合幾何中證明三角形的高交于一點時,必須分別考慮交點在三角形內和三角形外,而解析幾何證明時,則不須加區別。
  2、解析幾何把代數和幾何結合起來,把數學造成一個雙面的工具。一方面,幾何概念可以用代數表示,幾何的目的通過代數來達到。反過來,另一方面,給代數概念以幾何解釋,可以直觀地掌握這些概念的意義。又可以得到啓發去提出新的結論(例如,笛卡爾就提出了用抛物線和圓的交點來求三次和四次方程的實根的著名方法),拉格朗日(Lagrange)曾把這些優點寫進他的《數學概要》中:“只要代數和幾何分道揚鑣,他們的進展就緩慢,他們的應用就狹窄。但當這兩門科學結成伴侶時,他們就互相吸取新鮮的活力,就以快速走向完善。”的確,十七世紀以來數學的巨大發展,在很大程度上應歸功於解析幾何,可以說微分學和積分學如果沒有解析幾何的預先發展是難以想象的。
  3、解析幾何的顯著優點在於它是數量工具。這個數量工具是科學的發展久已迫切需要的。十七世紀一直公開要求著的,例如當開普勒發現行星沿橢圓軌道繞著太陽運動,伽利略發現抛出去的石子沿著抛物線的軌道飛出去時就必須計算這些橢圓和炮彈飛時所畫的抛物線了。這些都需要提供數量的工具,研究物理世界,似乎首先需求幾何。物體基本上是幾何的形象,運動物體的路線是曲線,研究它們都需要數量知識。而解析幾何能使人把形象和路線表示爲代數形式,從而導出數量知識。
  三、一點啓示
  解析幾何的重要性在於他的方法——建立坐標系,用方程來表示曲線,通過研究方程來研究曲線。
  蘇聯著名幾何學家格列諾夫在他所編的《解析幾何》前言中說:“解析幾何沒有嚴格確定的內容,對它來說,決定性的因素,不是研究物件,而是方法。”“這個方法的實質,在於用某種標準的方式把方程(方程組)同幾何物件(即圖形)相對應,使得圖形的幾何關係在其方程的性質中表現出來。”
  由於解析幾何方法解決各類問題的普遍性,它已成爲幾何研究中的一個基本方法。不僅如此,它還被廣泛應用於其他精確的自然科學領域,如力學和物理學之中。
  因此我們學習解析幾何,主要是掌握它的基本思想、基本方法,而不僅僅在於記住它的某些具體結論。
  解析幾何的基本方法,包括兩個方面:一是由圖形到方程,二是從方程到圖形,也就是選擇坐標系,建立圖形方程。通過對方程的研究得到圖形的性質,瞭解圖形的形狀。
  解析幾何離不開代數,但又要隨時把各種代數表示的幾何涵義放在心中。學習中要特別注意,培養自己的幾何直觀能力。這種能力對於數學的學習是極爲重要的。
  應用解析幾何的方法,可以研究很多具體物件。因爲我們應把目的放在掌握基本方法上,採取“研究物件簡單一些,突出基本方法”的方針,避免發生因爲研究物件複雜,引起很多枝節,從而淹沒了基本方法的現象。這也是笛卡爾留給我們的一個教訓。它就是因爲講了很多很多的作圖題,把它的關於解析幾何的基本思想淹沒了。

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文章: 2165
註冊時間: 2003-12-30






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