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1. 某紡織公司有甲、乙兩款全自動縫紉機，甲縫紉機每小時可以做出的衣服件數是個整數，而且超過5件；而乙縫紉機每小時可以做出的衣服件數比甲少2件。公司接到一筆訂單，如果僅用一台甲縫紉機剛好在整數小時完成；若是同時使用2台乙縫紉機，則花費的時間剛好比一台甲縫紉機的時間少1小時。問：該筆訂單是要做幾件衣服？
2. 已知a，b均為整數且2a＋3b為17的倍數，試證9a＋5b為17的倍數。
3. 每一本現代的書都有國際標準書碼（或ISBN碼），國際標準書碼一共有十碼，前九碼是9個數字，稱為「訊息碼」；第十碼可能是數字或是×這個記號，稱為「檢查碼」。檢查碼是由訊息碼所唯一決定的，
如訊息為ａ１ａ２ａ３－ａ４ａ５ａ６－ａ７ａ８ａ９的書的檢查碼是根據加權數１×ａ１＋２×ａ２＋３×ａ３＋４×ａ４＋５×ａ５＋６×ａ６＋７×ａ７＋８×ａ８＋９×ａ９除以１１所得的餘數來訂定，當餘數是１０時，規定檢查碼為×。問：有一本書的訊息碼者９個數字中有兩個數字是不一樣的，現在將這２個數字對調，其餘保持不變（檢查碼也不變）。證明：所得的新碼不符ISBN碼的規定。

2)
17|2a+3b
17|2a+3b+17a+17b-5(2a+3b)
17|9a+5b

1)
設甲機每小時可做x件衣服
則乙機每小時可做(x-2)件衣服
設該筆訂單要做m件衣服
用一甲機共用m/x小時...(x|m)
同時使用2台乙縫紉機
(m/x)-1=m/2(x-2)
m=(2x^2-4x)/(x-4)...(1)
設m=kx
k=(2x^2-4x)/(x^2-4x)
=2+4/(x-4)
4>=x-4
∴5<x<=8
x-4|x
∴=6 or 8
代入(1)得
m=24
∴該筆訂單是要做24件衣服

3)
設對調的兩個數字為a,b
權數分別為m,n
即要証明am+bn=an+bm(mod11)不成立
am+bn-an-bm=a(m-n)-b(m-n)=(a-b)(m-n)
由於a,b,m,n都不大於9
∴|a-b|<10,|m-m|<9
(a-b)及(m-n)都不能是11的倍數
所以(a-b)(m-n)≠0(mod11)
即am+bn=an+bm(mod11)不成立

(1)假設甲縫紉機每小時可做X件,共作Y小時
所以得到XY=2(X-2)(Y-1)
化簡得XY-2X-4Y+4=0
強迫分解(X-4)(Y-2)=4
找出X和Y的整數解
且X,Y皆大0,X大於5
則得到(X,Y)=(6,4)或(8,3)
所以共要做(XY=24)件