由 yes 於 星期六 十月 22, 2005 1:28 am
此題利用y=cosx及x=cosy圖形交互代入x1,x2,x3,…極易看出需x1=x2=x3=…才有解,但不易證,我的方法較複雜,僅供參考
(1) 首先證明0<x1<1
證明:若x1≦0或x1≧1則-1≦cosx1≦1 即-1≦x2≦1則0<cosx2<1
即0<x3<1可進而得0<xn<1 則0<cosxn<1 但x1=cosxn
所以0<x1<1與x1≦0或x1≧1不合
(2) 所以0<x1<1易推得0<xk<1(k=2,3,…,n)
(3) 已知cosx=x由y=cosx及y=x圖形知僅一解,令此解為x=t則cost=t
且由圖知0<t<π/2(透過Excel協助t≒0.739085弧度≒42.34649度)
設合乎條件之x1,x2,…,xn由(1)知0<xk<1(k=1,2,…,n)
設f(x)=cos(cosx)-x 且0<x<1 則f’(x)=-sin(cosx)*-sinx-1<0
所以若0<x<1則f(x)為減函數且f(t)=cos(cost)-t=cost-t=t-t=0
若x1<t則cosx1>cost=t 即x2=cosx1>cost=t,x3=cosx2<cost=t
X4=cosx3>cost=t 可由數學歸納法得,
若n為偶數則xk>t(k=2,4,…,n-2,n) ……(1)
若n為奇數則xk<t(k=1,3,…,n-2,n) ……(2)
因f(x)為減函數,若x1<t則f(x1)>f(t)則cos(cosx1)-x1>0 [因f(t)=0 ]
又x3=cosx2=cos(cosx1)所以x3-x1>0則x3>x1 由(2)式知可得
x3<x5<t 可進而推得,若n為奇數時x1<x3<……<xn-2<xn<t ……(3)
所以cosxn>cost=t 又x1=cosxn 所以x1>t與x1<t矛盾
若n為偶數時由(1)式xn>t則cosxn<cost=t ,又x1=cosxn=cos(cosxn-1)
因n-1為奇數 由(2)知xn-1<t則f(xn-1) >f(t) ,則cos(cosxn-1)-xn-1>0
則cos(cosxn-1) > xn-1 即x1>xn-1 由(3)式可知xn-1>x1 所以矛盾
即x1<t不合 同理亦可證得x1>t時不合,因此x1=t 又x2=cosx1=cost=t
X3=cosx2=cost=t 可推得x1=x2=…=xn=t≒0.739085弧度≒42.34649度
此法複雜,應有更佳的方法吧?