[數學][問題]再幫一下

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阿婆 於 星期四 十月 20, 2005 3:45 pm


Show that if the events A1...An  are independent and  Bi  equals   Ai  or Ai' or S  , then the events B1...Bn are also independent.

拜托再解答一下

阿婆
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piny 於 星期四 十月 20, 2005 4:42 pm


集合論幾乎都忘了說

要證明獨立,就是證明兩者交集機率為兩者相乘

B的事件定義有(A、A的餘集合、全体事件),其中全体事件發生機率為一,而因為題意已指名A事件彼此獨立,所以A事件皆與其餘集合獨立。

分三種情況討論:

1.B=A
  所以p(Ai交集Bj)=P(Ai)-P(Ai交集Bj之餘)
                     =P(Ai)-P(Ai交集Aj之餘)
                     =P(Ai)-P(Ai)P(Aj之餘)
                     =P(Ai)﹝1-P(Aj之餘)﹞
                            =P(Ai)﹝1-P(Bj之餘)﹞
                            =P(Ai)P(Bj),得證

2.B=A之餘
  所以p(Ai交集Bj)=P(Ai)-P(Ai交集Bj之餘)
                     =P(Ai)-P(Ai交集Aj)
                     =P(Ai)-P(Ai)P(Aj)
                     =P(Ai)﹝1-P(Aj)﹞
                            =P(Ai)﹝P(Aj之餘)﹞
                            =P(Ai)P(Bj),得證

3.B=全体事件
  所以p(Ai交集Bj)=P(Ai)-P(Ai交集全体之餘)
                     =P(Ai)-P(Ai交集空集合)
                     =p(Ai)-0
                     =P(Ai)
                     =P(Ai)*1
                     =P(Ai)P(Bj),得證

piny
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