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設 x、y、z 為正實數，且 x+y+z>=xyz，求 (x^2+y^2+z^2)/(xyz) 的最小值。

3/2*sqrt2

54LKK 寫到:3/2*sqrt2

x,y,z都帶根號3..
最小值根號3..不知道對不對= =

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:

54LKK 寫到:3/2*sqrt2

x,y,z都帶根號3..
最小值根號3..不知道對不對= =

你不是已經用柯西不等式和算幾不等式証明過了嗎?

我想,應該就是 x=y=z= 吧.

宇智波鼬 寫到:

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:

54LKK 寫到:3/2*sqrt2

x,y,z都帶根號3..
最小值根號3..不知道對不對= =

你不是已經用柯西不等式和算幾不等式証明過了嗎?

我想,應該就是 x=y=z= 吧.

其實這是我請教別人的..拿出來貼有點不好意思= =

由柯西不等式
(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)≧(x+y+z)^2≧(xyz)^2
(x^2+y^2+z^2)/xyz≧xyz/3..............(1)
由算幾不等式
(x^2+y^2+z^2)/3≧(x^2*y^2*z^2)^(1/3)
(x^2+y^2+z^2)/xyz≧3*(xyz)^(-1/3)
[(x^2+y^2+z^2)/xyz]^3≧27/xyz............(2)
(1)*(2)
[(x^2+y^2+z^2)/xyz]^4≧9
(x^2+y^2+z^2)/xyz≧√3
(1),(2)兩式等號成立的條件都是x=y=z
x+y+z≧xyz
3x≧x^3
3≧x^2
√3≧x
取x=y=z=√3的最小值為√3
(x^2+y^2+z^2)/xyz

柯西不等式推得(x^2+y^2+z^2)*(1+1+1)>=(x+y+z)^2
題意推得(x+y+z)^2>=(xyz)^2
算幾不等式推得(x^2+y^2+z^2)^3>=27(xyz)^3

三式相乘得(x^2+y^2+z^2)^4>=9*(xyz)^4
化簡得(x^2+y^2+z^2)/xyz>=sqrt(3)


等號可以成立(x=y=z=sqrt(3))


所以最小值為sqrt(3)