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Given that : a1=7, an=7^a(n-1))
prove that for any m,n greater or equal to 2,
am-an is divisible by 20

a1=7,a2=7^7,a3=7^(7^7),a4=7^(7^(7^7)),...
不管如何,an一定是以7為底且次數為奇數
因為7≡-1(mod 4)，7^2≡(-1)^2≡1(mod 4)，7^3≡-1(mod 4),....
所以7的奇數次方，用4除餘3，7的偶數次方用4除餘1
對於m,n≧2，一定存在a,b是自然數，am=7^(4a+3)，an=7^(4b+3)
am-an
=7^(4a+3)-7^(4b+3)
=7^3[(7^4)^a-(7^4)^b]
因為7^4用100除餘1，所以(7^4)^a-(7^4)^b是100的倍數
即am-an是100的倍數，當然是20的倍數

如何用數學歸納法計算..

Anonymous 寫到:如何用數學歸納法計算..

用數學歸納法，沒試過，不過應該不容易
因為有兩個變數，可能需要先證固定m時，對任意n>=2都成立，再證對任意m>=2亦成立