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a,b,c是三個自然數
且滿足a+b+c=abc

求證：
a,b,c只能是1,2,3中之一個

a+b+c=abc
a=(b+c)/(bc-1)
bc-1<=b+c
(b-1)(c-1)<=2
所以b,c不能大於3
即三數都不能大於3
而只有a,b,c為1,2,3中之一個才符合題目的要求

PS我記得之前見過另一種解法
是很漂亮的
但忘記了...

將a,b,c依遞增排列為x,y,z
原式同除以abc得1/ab+1/bc+1/ca=1
就是1/xy+1/yz+1/zx=1
1/xy+1/yz+1/zx=1<=(1/xy+1/xy+1/xy)
3/xy>=1
xy<=3
(x,y)=(1,1)或(1,2)或(1,3)
代入x+y+z=xyz解出z依序為無解,3,無解
所以{a,b,c}={1,2,3},得證