由 galaxylee 於 星期日 十月 02, 2005 11:18 am
令x,y為非零整數,使得(1/x)+(1/y)=1/6,6x+6y=xy,(x-6)(y-6)=36
36可分解成1*36,(-1)*(-36),2*18,(-2)*(-18),3*12,(-3)*(-12),4*9,(-4)*(-9),6*6,(-6)*(-6),再考慮互換情形,可解出
(x,y)=(7,42),(5,-30),(8,24),(4,-12),(9,18),(3,-6),(10,15),(2,-3),(12,12)有9組解
接著證明除這9組解外,無其他解
因為(x-6)(y-6)=36
(1)若y>6,則x-6=36/(y-6),x=6+36/(y-6),所以x>6,y最大只能到42,若y>42,x無整數解
(2)若1<y<6,x有整數解
(3)若y=1時,x無整數解
(4)若y<0時,由x=6+36/(y-6),可知x<6,y最小只能到-30,若y<-30,x無整數解
上面(1),(2),(3),(4)是先針對y的範圍來觀察x可能的範圍,因為方程式是對稱的,所以針對x的範圍來觀察y可能的範圍討論方式一樣
由(1)(2)(3)(4)討論可知,只有這9種情形