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分子為1 的真分數稱為單位分數或埃及分數。試將1/6 寫成兩個埃及分數的和。(請證明你已經列出所有可能的答案)。

令x,y為非零整數，使得(1/x)+(1/y)=1/6，6x+6y=xy，(x-6)(y-6)=36
36可分解成1*36,(-1)*(-36),2*18,(-2)*(-18),3*12,(-3)*(-12),4*9,(-4)*(-9),6*6,(-6)*(-6)，再考慮互換情形，可解出
(x,y)=(7,42),(5,-30),(8,24),(4,-12),(9,18),(3,-6),(10,15),(2,-3),(12,12)有9組解
接著證明除這9組解外，無其他解
因為(x-6)(y-6)=36
(1)若y>6，則x-6=36/(y-6)，x=6+36/(y-6)，所以x>6，y最大只能到42，若y>42，x無整數解
(2)若1<y<6，x有整數解
(3)若y=1時，x無整數解
(4)若y<0時，由x=6+36/(y-6)，可知x<6，y最小只能到-30，若y<-30，x無整數解

上面(1),(2),(3),(4)是先針對y的範圍來觀察x可能的範圍，因為方程式是對稱的，所以針對x的範圍來觀察y可能的範圍討論方式一樣

由(1)(2)(3)(4)討論可知，只有這9種情形