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正整數a,b,c.它們的最大公因數為1.而且:



證明: a-b為一完全平方數.

(1)若(a,b)=1
則因為(ab,a-b)=1但ab/(a-b)=c，所以只能a-b=1，a-b是完全平方數，此時c=ab

(2)若(a,b)≠1
令d=(a,b)，而(d,c)=1
可假設a=dh，b=dk，其中(h,k)=1
所以ab/(a-b)=(d^2)hk/d(h-k)=dhk/(h-k)=c
因為(hk,h-k)=1，所以d是h-k的倍數，也可推出c是hk的倍數
令d=m(h-k)，c=nhk再代回dhk/(h-k)=c中，可得m=n
即d=m(h-k)，c=mhk，但因為(d,c)=1，所以m=1，即d=h-k
而a-b=dh-dk=d(h-k)=d^2是完全平方數

由(1),(2)得證