由 galaxylee 於 星期六 十月 01, 2005 1:37 pm
(1)若(a,b)=1
則因為(ab,a-b)=1但ab/(a-b)=c,所以只能a-b=1,a-b是完全平方數,此時c=ab
(2)若(a,b)≠1
令d=(a,b),而(d,c)=1
可假設a=dh,b=dk,其中(h,k)=1
所以ab/(a-b)=(d^2)hk/d(h-k)=dhk/(h-k)=c
因為(hk,h-k)=1,所以d是h-k的倍數,也可推出c是hk的倍數
令d=m(h-k),c=nhk再代回dhk/(h-k)=c中,可得m=n
即d=m(h-k),c=mhk,但因為(d,c)=1,所以m=1,即d=h-k
而a-b=dh-dk=d(h-k)=d^2是完全平方數
由(1),(2)得證