[代數]等差數列

[代數]等差數列

宇智波鼬 於 星期五 九月 30, 2005 10:56 pm


一個有100項的等差數列,它的每一項都是大於1的正整數。請問它們各項之間是否可能兩兩都互質?(如果能,請將這個數列寫出;如果不能,請證明無論如何都不能達成。)
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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galaxylee 於 星期六 十月 01, 2005 12:02 am


理論上這種數列應該存在,而且不只一種

若p1,p2,p3,.....,p100是自然數的前100個質數(不包含1)
則(p1)*(p2)*(p3)*...*(p100)+1必與p1,p2,p3,....,p100這100個質數互質
若k≦100,則k可分解為小於100的質數乘積,這些質數也小於p100
所以k*(p1)*(p2)*(p3)*...*(p100)+1亦與p1,p2,p3,....,p100這100個質數互質

接著,我們可建構如下的等差數列,並證明任取兩數一定互質:
公差d=(p1)*(p2)*(p3)*...*(p100)
a1=d+1
a2=2d+1
.......
a100=100d+1

若任取兩數am=md+1,an=nd+1,1≦n<m≦100
(am,an)=(md+1,nd+1)=((m-n)d,nd+1)
因為m-n<100<p100,所以(m-n)d的所有質因數都小於等於p100且和nd+1互質
亦即((m-n)d,nd+1)=1,am,an互質,得證。

galaxylee
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