試證1+1/2+1/3+1/4+........+1/n+.........發散
徵求p-series test 以外之方法
[問題]證明
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由 galaxylee 於 星期五 九月 30, 2005 8:08 pm
只要能證明對於任何自然數N，1+1/2+1/3+....+1/n都會大於N即可(只要n夠大)
取n=2^(2N)（2的2N次方）
1+1/2+1/3+......+1/(n-1)+1/n
=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+[1/(2^(2N-1)+1)+1/(2^(2N-1)+2)+...+1/(2^(2N)-1)+1/2^(2N)]
>1+1/2+1/2+1/2+......+1/2 (2N個1/2)
>1+N
所以1+1/2+1/3+......+1/(n-1)+1/n+...是發散的
取n=2^(2N)（2的2N次方）
1+1/2+1/3+......+1/(n-1)+1/n
=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+[1/(2^(2N-1)+1)+1/(2^(2N-1)+2)+...+1/(2^(2N)-1)+1/2^(2N)]
>1+1/2+1/2+1/2+......+1/2 (2N個1/2)
>1+N
所以1+1/2+1/3+......+1/(n-1)+1/n+...是發散的
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galaxylee - 副教授
- 文章: 555
- 註冊時間: 2005-07-18
由 qeypour 於 星期日 十月 02, 2005 12:38 pm
galaxylee 寫到:只要能證明對於任何自然數N，1+1/2+1/3+....+1/n都會大於N即可(只要n夠大)
取n=2^(2N)（2的2N次方）
1+1/2+1/3+......+1/(n-1)+1/n
=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+[1/(2^(2N-1)+1)+1/(2^(2N-1)+2)+...+1/(2^(2N)-1)+1/2^(2N)]
>1+1/2+1/2+1/2+......+1/2 (2N個1/2)
>1+N
所以1+1/2+1/3+......+1/(n-1)+1/n+...是發散的
那如果是1+1/5+1/9+/13+.........+1/(4n-3)+........呢?
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qeypour - 大 師
- 文章: 431
- 註冊時間: 2005-07-23
由 訪客 於 星期二 十月 04, 2005 11:12 am
qeypour 寫到:galaxylee 寫到:只要能證明對於任何自然數N，1+1/2+1/3+....+1/n都會大於N即可(只要n夠大)
取n=2^(2N)（2的2N次方）
1+1/2+1/3+......+1/(n-1)+1/n
=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+[1/(2^(2N-1)+1)+1/(2^(2N-1)+2)+...+1/(2^(2N)-1)+1/2^(2N)]
>1+1/2+1/2+1/2+......+1/2 (2N個1/2)
>1+N
所以1+1/2+1/3+......+1/(n-1)+1/n+...是發散的
那如果是1+1/5+1/9+/13+.........+1/(4n-3)+........呢?
4n>4n-3
1/(4n)<1/(4n-3)
因為1+......+1/n is 發散
所以1/4+.....+1/(4n) 是發散
故1/+1/5+.......+1/(4n-3) 也是發散
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