[代數]代數競賽題

[代數]代數競賽題

宇智波鼬 於 星期一 九月 26, 2005 8:00 pm


令n為正整數。試証在n或3n的十進制之各位數字中,至少會出現一個數字1、2或9。
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期三 九月 28, 2005 6:19 pm


從n的最左邊的數來看看
n的頭為1時..n出現1
n的頭為2時..n出現2
n的頭為3時..3n出現9
n的頭為4時..3n的頭出現1
n的頭為5時..3n的頭出現1
n的頭為6時..3n的頭出現1
n的頭為7時..3n的頭出現2
n的頭為8時..3n的頭出現2
n的頭為9時..n出現9

所以得證:n或3n的十進制之各位數字中,至少會出現一個數字1、2或9。

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
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數學好好玩 於 星期三 九月 28, 2005 6:56 pm


頭尾數不得為1,2,9,且尾數為7出現1,尾數為4出現2,尾數為3出現9
只剩下5,6,8
這些數為開頭時,3n分別為1,1,2
所以得證

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Re: [代數]代數競賽題

lcflcflcf 於 星期三 九月 28, 2005 6:58 pm


宇智波鼬 寫到:令n為正整數。試証在n或3n的十進制之各位數字中,至少會出現一個數字1、2或9。


若n有1或2或9
則命題成立
所以只需討論n個首位數為3,4,5,6,7,8的情況

設k為正整數
a為不大於10^k的正整數(包括0)
首位數為3的數為(3*10^k+a)
首位數為4的數為(4*10^k+a)
首位數為5的數為(5*10^k+a)
首位數為6的數為(6*10^k+a)
首位數為7的數為(7*10^k+a)
首位數為8的數為(8*10^k+a)

3(3*10^k)<=3(3*10^k+a)<3(4*10^k)
9*10^k<=3(3*10^k+a)<12*10^k
所以當n的首位數為3時,3n的首位數不是9,就是1

3(4*10^k)<=3(4*10^k+a)<3(5*10^k)
12*10^k<=3(4*10^k+a)<15*10^k
所以當n的首位數為4時,3n的首位數必為1

3(5*10^k)<=3(5*10^k+a)<3(6*10^k)
15*10^k<=3(5*10^k+a)<18*10^k
所以當n的首位數為5時,3n的首位數必為1

3(6*10^k)<=3(6*10^k+a)<3(7*10^k)
18*10^k<=3(6*10^k+a)<21*10^k
所以當n的首位數為6時,3n的首位數不是1,就是2

3(7*10^k)<=3(7*10^k+a)<3(8*10^k)
21*10^k<=3(7*10^k+a)<24*10^k
所以當n的首位數為7時,3n的首位數必為2

3(8*10^k)<=3(8*10^k+a)<3(9*10^k)
24*10^k<=3(8*10^k+a)<27*10^k
所以當n的首位數為8時,3n的首位數必為2

綜合上述情況
命題成立
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~

lcflcflcf
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