[問題]是不是

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qeypour 於 星期五 九月 09, 2005 3:40 pm


分式(x^2-1)/(x-1)是不是多項式?
為什麼?

qeypour
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galaxylee 於 星期五 九月 09, 2005 6:07 pm


就高中數學的觀點而言,多項式的定義是
「由有限多個x的單項式(例如:x,x^2,x^3,...)與數的乘積用加號連接而成的式子」

分式(x^2-1)/(x-1)很明顯就不是多項式,但可能有人認為(x^2-1)/(x-1)=x+1是多項式,不過別忘了,x≠1才可以這樣化簡,也就是說(x^2-1)/(x-1)=x+1,但x≠1,

由於多項式的定義域為所有的實數,(x^2-1)/(x-1)的定義域不是所有的實數。

再由圖形來觀察:(x^2-1)/(x-1)的圖形是一條少了點(1,2)的直線,並不連續,而多項
式的圖形是連續的。

綜合以上觀點,(x^2-1)/(x-1)已不能視為是多項式了。

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qeypour 於 星期五 九月 09, 2005 9:54 pm


galaxylee 寫到:就高中數學的觀點而言,多項式的定義是
「由有限多個x的單項式(例如:x,x^2,x^3,...)與數的乘積用加號連接而成的式子」

分式(x^2-1)/(x-1)很明顯就不是多項式,但可能有人認為(x^2-1)/(x-1)=x+1是多項式,不過別忘了,x≠1才可以這樣化簡,也就是說(x^2-1)/(x-1)=x+1,但x≠1,

由於多項式的定義域為所有的實數,(x^2-1)/(x-1)的定義域不是所有的實數。

再由圖形來觀察:(x^2-1)/(x-1)的圖形是一條少了點(1,2)的直線,並不連續,而多項
式的圖形是連續的。

綜合以上觀點,(x^2-1)/(x-1)已不能視為是多項式了。


我也這麼認為
用的是多項式恆等的觀念
(x^2-1)/(x-1)不恆等於x+1(存在x=1使二者不相等)
所以不能說(x^2-1)/(x-1)等於x+1

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qeypour 於 星期一 九月 12, 2005 6:46 pm


galaxylee 寫到:就高中數學的觀點而言,多項式的定義是
「由有限多個x的單項式(例如:x,x^2,x^3,...)與數的乘積用加號連接而成的式子」

分式(x^2-1)/(x-1)很明顯就不是多項式,但可能有人認為(x^2-1)/(x-1)=x+1是多項式,不過別忘了,x≠1才可以這樣化簡,也就是說(x^2-1)/(x-1)=x+1,但x≠1,

由於多項式的定義域為所有的實數,(x^2-1)/(x-1)的定義域不是所有的實數。

再由圖形來觀察:(x^2-1)/(x-1)的圖形是一條少了點(1,2)的直線,並不連續,而多項
式的圖形是連續的。

綜合以上觀點,(x^2-1)/(x-1)已不能視為是多項式了。


那(x^2+1)/(x^2+1)
在定意域為實數的條件下恆等於1
且以圖形的觀點看也是連續
那它算不算多項式?

還有(x^6開三方)在定義域為實數恆等於x^2,那它是不是多項式?為什麼?

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galaxylee 於 星期一 九月 12, 2005 9:06 pm


qeypour 寫到:
那(x^2+1)/(x^2+1)
在定意域為實數的條件下恆等於1
且以圖形的觀點看也是連續
那它算不算多項式?

還有(x^6開三方)在定義域為實數恆等於x^2,那它是不是多項式?為什麼?


(x^2+1)/(x^2+1)=1根據多項式的定義,是多項式,當然我們也可以說它是分式。
(x^6開三方)=x^2也是。

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qeypour 於 星期一 九月 12, 2005 9:37 pm


galaxylee 寫到:
qeypour 寫到:
那(x^2+1)/(x^2+1)
在定意域為實數的條件下恆等於1
且以圖形的觀點看也是連續
那它算不算多項式?

還有(x^6開三方)在定義域為實數恆等於x^2,那它是不是多項式?為什麼?


(x^2+1)/(x^2+1)=1根據多項式的定義,是多項式,當然我們也可以說它是分式。
(x^6開三方)=x^2也是。


記得以前國中老師說若x出現在分母,根號,絕對值就不是多項式
原來是唬人的

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galaxylee 於 星期二 九月 13, 2005 10:33 am


以x是否出現在分母,根號,絕對值可作為判斷是否為多項式的依據,但不是完全可行。
國中數學對多項式沒有做嚴格的定義,也沒有強調定義域的概念,所以會讓人以為只
要x不出現在分母,根號,絕對值的式子就是多項式的定義。
而高中數學對多項式的定義比較清楚
多項式就是f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+......+a_1x+a_0
a_n,a_n-1,...a_1,a_0可以是複數、實數、有理數、整數、自然數

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qeypour 於 星期二 九月 13, 2005 7:56 pm


galaxylee 寫到:以x是否出現在分母,根號,絕對值可作為判斷是否為多項式的依據,但不是完全可行。
國中數學對多項式沒有做嚴格的定義,也沒有強調定義域的概念,所以會讓人以為只
要x不出現在分母,根號,絕對值的式子就是多項式的定義。
而高中數學對多項式的定義比較清楚
多項式就是f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+......+a_1x+a_0
a_n,a_n-1,...a_1,a_0可以是複數、實數、有理數、整數、自然數


多項式的係數不是要限定為實數嗎?
不知紅色部份是否筆誤?

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galaxylee 於 星期二 九月 13, 2005 8:28 pm


qeypour 寫到:
galaxylee 寫到:以x是否出現在分母,根號,絕對值可作為判斷是否為多項式的依據,但不是完全可行。
國中數學對多項式沒有做嚴格的定義,也沒有強調定義域的概念,所以會讓人以為只
要x不出現在分母,根號,絕對值的式子就是多項式的定義。
而高中數學對多項式的定義比較清楚
多項式就是f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+......+a_1x+a_0
a_n,a_n-1,...a_1,a_0可以是複數、實數、有理數、整數、自然數


多項式的係數不是要限定為實數嗎?
不知紅色部份是否筆誤?


有佈於複係數的多項式C[x],當然x也是複數,高斯的代數基本定理不是說:「一次以上的複係數多項式方程式至少有一個複數根」

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qeypour 於 星期日 九月 18, 2005 5:43 pm


galaxylee 寫到:
qeypour 寫到:
galaxylee 寫到:以x是否出現在分母,根號,絕對值可作為判斷是否為多項式的依據,但不是完全可行。
國中數學對多項式沒有做嚴格的定義,也沒有強調定義域的概念,所以會讓人以為只
要x不出現在分母,根號,絕對值的式子就是多項式的定義。
而高中數學對多項式的定義比較清楚
多項式就是f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+......+a_1x+a_0
a_n,a_n-1,...a_1,a_0可以是複數、實數、有理數、整數、自然數


多項式的係數不是要限定為實數嗎?
不知紅色部份是否筆誤?


有佈於複係數的多項式C[x],當然x也是複數,高斯的代數基本定理不是說:「一次以上的複係數多項式方程式至少有一個複數根」


那(x^4-1)/(x^2+1)是不是多項式就不一定了
在實數系............是
在複數系............不是

如果以複數系的定義來看多項式
那x出現在分母,根號,絕對值不是多項式........這句話就對了

只是奇怪, 現行高中教材定義多項式並沒講x之定義域
這樣其實講得並不清楚

qeypour
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