[問題]整除問題

[問題]整除問題

galaxylee 於 星期二 九月 13, 2005 11:36 pm


證明:比(√3+1)^2n 大的最小正整數可被2^(n+1)整除
(91年全國高中數學能力競試台中區試題)

galaxylee
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qeypour 於 星期三 九月 14, 2005 2:00 pm


(√3+1)^2n
=(4+2√3)^n=(2^n)*(1+√3)^n
=(2^n)*[C(n,0)*(√3)^0+C(n,1)*(√3)+.......+C(n,n)*(√3)^n.....(1)

(√3-1)^2n
=(4-2√3)^n=(2^n)*(1-√3)^n
=(2^n)*[C(n,0)*(-√3)^0+C(n,1)*(-√3)+......+C(n,n)*(-√3)^n...(2)

(1)+(2)得(√3+1)^2n +(√3-1)^2n
=(2^n)*2*[C(n,0)*(√3)^0+C(n,2)*(√3)^2+......+C(n,2k)*(√3)^2k]
=[2^(n+1)]*t,其中t為整數

因為0<(√3-1)^2n<1,所以比(√3+1)^2n大的最小整數就是[2^(n+1)]*t
必為2^(n+1)之倍數,得證

qeypour
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galaxylee 於 星期三 九月 14, 2005 3:37 pm


qeypour 寫到:(√3+1)^2n
=(4+2√3)^n=(2^n)*(1+√3)^n
=(2^n)*[C(n,0)*(√3)^0+C(n,1)*(√3)+.......+C(n,n)*(√3)^n.....(1)

(√3-1)^2n
=(4-2√3)^n=(2^n)*(1-√3)^n
=(2^n)*[C(n,0)*(-√3)^0+C(n,1)*(-√3)+......+C(n,n)*(-√3)^n...(2)

(1)+(2)得(√3+1)^2n +(√3-1)^2n
=(2^n)*2*[C(n,0)*(√3)^0+C(n,2)*(√3)^2+......+C(n,2k)*(√3)^2k]
=[2^(n+1)]*t,其中t為整數

因為0<(√3-1)^2n<1,所以比(√3+1)^2n大的最小整數就是[2^(n+1)]*t
必為2^(n+1)之倍數,得證


紅色部分稍加修改即可,good job !
(2^n)*(2+√3)^n
=(2^n)*[C(n,0)*2^n+C(n,1)*2^n-1*(√3)+.......+C(n,n)*(√3)^n].....(1)

(√3-1)^2n
=(4-2√3)^n=(2^n)*(2-√3)^n
=(2^n)*[C(n,0)*2^n+C(n,1)*2^n-1*(-√3)+.......+C(n,2k)*(√3)^n]....(2)

(1)+(2)得(√3+1)^2n +(√3-1)^2n
=(2^n)*2*[C(n,0)*2^n+C(n,2)*(√3)^2+......+C(n,2k)*(√3)^2k]

galaxylee
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