[問題]比較大小

[問題]比較大小

galaxylee 於 星期一 九月 12, 2005 2:10 pm


1000^1000 與 1001^999 何數較大?

galaxylee
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☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期一 九月 12, 2005 3:01 pm


1000^1000=1000*999+1000
1001^999=(1000+1)*999=1000*999+999

1000^1000>1001^999

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
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lcflcflcf 於 星期一 九月 12, 2005 3:01 pm


1001^999=(1000+1)^999
=1000^999+100^998+100^997...+100^0
↑↑999*3+1個位

1000^1000=(1000^999)*1000
↑↑1000*3+1個位

所以1000^1000>1001^999
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~

lcflcflcf
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galaxylee 於 星期一 九月 12, 2005 3:31 pm


☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:1000^1000=1000*999+1000
1001^999=(1000+1)*999=1000*999+999

1000^1000>1001^999


題目是"次方",不是乘積,是不是有問題?

galaxylee
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galaxylee 於 星期一 九月 12, 2005 3:35 pm


lcflcflcf 寫到:1001^999=(1000+1)^999
=1000^999+100^998+100^997...+100^0

↑↑999*3+1個位

1000^1000=(1000^999)*1000
↑↑1000*3+1個位

所以1000^1000>1001^999


這裡的二項式定理展開有問題
(1000+1)^999
=1000^999+C(1000,1)*1000^998+C(1000,2)*1000^997+.....+1000^0
藍色後面為什麼可省略不看位數?

galaxylee
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lcflcflcf 於 星期一 九月 12, 2005 4:09 pm


希望今次無問題...
1001^999
=(1000+1)999
<1000^999+(1000*1)1000^998+(1000*2)1000^997+(1000*3)1000^996...+(1000*1)1000^1+1000^0------(1)
=2*1000^999+2*1000^998+3*1000^997+4*1000^996...+1000^2+1------------(2)
觀察2*1000^999,知它是999*3+1位數[(1)的首兩項]
觀察2*1000^998,知它是998*3+1位數[(1)的第三項]
觀察3*1000^997,知它是997*3+1位數[(1)的第四項]
...
所以每後一項,位數都會減三/二
所以之後的項都不會影響原式的位數
所以(2)是999*3+1位數
而1000^1000是1000*3+1位數
所以(2)<1000^1000
所以1001^999<1000^1000
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~

lcflcflcf
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☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期一 九月 12, 2005 6:00 pm


galaxylee 寫到:
☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:1000^1000=1000*999+1000
1001^999=(1000+1)*999=1000*999+999

1000^1000>1001^999


題目是"次方",不是乘積,是不是有問題?


電腦克當時算的..再加上老師一直叫我們關機= =||
不小心看錯題目= =||
抱歉

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galaxylee 於 星期一 九月 12, 2005 6:13 pm


lcflcflcf 寫到:希望今次無問題...
1001^999
=(1000+1)^999
<1000^999+(1000*1)1000^998+(1000*2)1000^997+(1000*3)1000^996...+(1000*1)1000^1+1000^0------(1)
=2*1000^999+2*1000^998+3*1000^997+4*1000^996...+1000^2+1------------(2)
觀察2*1000^999,知它是999*3+1位數[(1)的首兩項]
觀察2*1000^998,知它是998*3+1位數[(1)的第三項]
觀察3*1000^997,知它是997*3+1位數[(1)的第四項]
...
所以每後一項,位數都會減三/二
所以之後的項都不會影響原式的位數
所以(2)是999*3+1位數
而1000^1000是1000*3+1位數
所以(2)<1000^1000
所以1001^999<1000^1000


這裡還是有問題,根據二項式定理
1001^999=(1000+1)999
=1000^999+C(1000,1)*1000^998+C(1000,2)*1000^997+C(1000,3)*1000^996+.....+C(1000,999)*1000^1+1000^0
=1000^999+1000*1000^998+499500*1000^997+16616700*1000^996+....+1000*1000+1

並不會小於

1000^999+(1000*1)1000^998+(1000*2)1000^997+(1000*3)1000^996...+(1000*1)1000^1+1000^0

galaxylee
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qeypour 於 星期一 九月 12, 2005 6:37 pm


可由數學歸納法證出當n>=3時,n^(n+1)>(n+1)^n

所以1000^1001>1001^1000
1000^1000>(1001^1000)/1000=(1001^999)*(1001/1000)>1001^999
得證

qeypour
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代數學