YLL討論網

若n為比1大的數
式証明



不是完全平方數
也不是完全立方數

a)
設2^n-1為完成平方數
此數的(正)平方根必為奇數(2m+1)
即(2m+1)^2=2^n-1
4m^2+4m+1=2^n-1
由於n>1，所以2^n為四的倍數(4k)
4m^2+4m+1=4k-1
由於任何數都不能同時表示為4k+1及4k-1
所以2^n-1不是完全平方數

(1)2^n-1不是完全平方數
若2^n-1是完全平方數，其必為某奇數的平方
又奇數的平方用4除必餘1（因為(2k+1)^2=4k^2+4k+1）
但2^n是4的倍數(n>1)，2^n-1用4除餘3
所以2^n-1不是完全平方數

(2)2^n-1不是完全立方數
設2^n-1是完全立方數
2^n-1=k^3
2^n=k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)
所以k+1和k^2-k+1皆為2的倍數
k(k+1)-(k^2-k+1)為2的倍數
但k(k+1)-(k^2-k+1)=2k-1不為2的倍數，矛盾
因此，2^n-1不是完全立方數