[數學]整除問題..(2)

[數學]整除問題..(2)

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期四 九月 01, 2005 4:28 pm




為一個三位數
且x+y+z=7
求證:
當y=z時

一定能被7整除
反之亦然

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
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宇智波鼬 於 星期四 九月 01, 2005 4:43 pm


用了一個很笨的方法 :

因為Y=Z 所以就設此數為XYY

2Y+X=7 所以Y只可能為0.1.2.3.

所以X為分別為7.5.3.1.
所以這些3位數分別為 700.511.322.133.

而他們全都能被7整除. 所以命題得證.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期四 九月 01, 2005 4:50 pm


我是這樣算的..
x+y+z=7
y=z
所以
x+2y=7
三位數=100x+11y

100x+11y除以x+2y餘數是189y
189=7*27y

故可被7整除..得證

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
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galaxylee 於 星期四 九月 01, 2005 4:55 pm


(1)y=z => XYZ是7倍數
證明:y=z,又x+y+z=7,故x=7-2y
           XYZ=100x+10y+z
             =100(7-2y)+10y+z
             =700-200y+10y+y=7(100-27y)是7的倍數

(2) XYZ是7倍數 => y=z
證明:x+y+z=7,x=7-y-z
        已知 XYZ=100x+10y+z
                   =100(7-y-z)+10y+z
                   =700-90y-99z
                   =700-91y-98z+(y-z)
                   =7(100-13y-14z)+(y-z) 是7倍數所以y-z為7的倍數
           因為x+y+z=7,若y=7,則x=0,這不行。
           若y<7,則 y-z≠7,14,...,因此y-z=0,y=z

由(1)(2)  y=z <=> XYZ是7倍數

galaxylee
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宇智波鼬 於 星期四 九月 01, 2005 5:18 pm


這句話是不是打錯了? 總覺得有什麼問題
[所以y-z為7的倍數,但0≦y,z≦9,所以y=z]
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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galaxylee 於 星期四 九月 01, 2005 5:28 pm


宇智波鼬 寫到:這句話是不是打錯了? 總覺得有什麼問題
[所以y-z為7的倍數,但0≦y,z≦9,所以y=z]


改成這樣好了
"由x+y+z=7,所以 y-z≠7,所以y-z=0,y=z"

galaxylee
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