[數學]幫幫我,幫我想個理由

[數學]幫幫我,幫我想個理由

chanjunhong 於 星期二 八月 02, 2005 11:57 pm


問題:只要是分數都可換成循環小數。

各人意見:分數在轉換循環小數時,作分子除以分母時候,因為有除不盡的現象,同時餘數與商數都有週期性的重複現象,所以就有循環小數的循環節了。
但是如果今天,想要告訴小朋友,或是單純想知道理由及為什麼,而非現象時。
請問各位,各位會如何說明兩個現象的理由?
(1)週期的現象?    (尚未有比較好的理由)
(2)除不盡的現象?(不能整分或等分割)

注:0.1=o.10(零的循環)

感謝各位!!

chanjunhong
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chiny 於 星期一 八月 22, 2005 1:17 pm


你可以從鴿洞原理去想...

chiny
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lcflcflcf 於 星期一 八月 22, 2005 1:41 pm


"0.1=o.10(零的循環)"
這當然不行


我的猜想︰
當(餘數/除數)相若為最簡分數時,即分小分母互質(互素)時
若分母凡是2的冪時2^n(n為正整數)或5的冪時5^m(m為正整數)時
該分數不能化為循環小數
若分母為某質數(非2,5)的倍數,該分數則能化為循環小數
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~

lcflcflcf
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chanjunhong 於 星期一 八月 22, 2005 7:09 pm


[quote="chiny"]你可以從鴿洞原理去想... [/quote]

我曾經看過有人用這樣的方式回答,
但是這樣的方式我深思的過後,覺得不對,
當然是指曾經看過的說法,
但卻不知到你要怎麼用鴿籠原理解釋,
我個人覺得,用鴿籠原理勉強可以解釋餘數的重複性,
但要解釋週期性的重複呢?或許個人才疏學淺,
請不吝惜指教
感謝

chanjunhong
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chanjunhong 於 星期一 八月 22, 2005 7:38 pm


[quote="lcflcflcf"]"0.1=o.10(零的循環)"
這當然不行


我的猜想︰
當(餘數/除數)相若為最簡分數時,即分小分母互質(互素)時
若分母凡是2的冪時2^n(n為正整數)或5的冪時5^m(m為正整數)時
該分數不能化為循環小數
若分母為某質數(非2,5)的倍數,該分數則能化為循環小數 [/quote]

感謝你的指教,
以下是我個人的看法,如果我們採用嚴格的定義、或區分方式
0.1既是0.1,不能表示成0.100000......這樣無意義的表示,
我能接受採嚴格定義或區分方式的作法討論。去區分有限小數,
和無限循環小數,那ok。
問題的本質,在於除不盡時,產生有規律的數字重複,要如何解釋?
反過來說,有限小數,不能視為或被包含於無限小數中嗎?

這樣問題讓我想起一個更有趣的問題:




這樣的表示對嗎?
如果對,那不就沒有那個問題嗎?
如果不對,那.....我也不知道囉!!
感謝你寶貴的建議

chanjunhong
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訪客 於 星期一 八月 22, 2005 8:19 pm


Anonymous 寫到:

這題要怎麼算呀...我不會...抱歉我用回覆的..因為我只要發表新文章都會當機... ><"


抱歉..我打錯了 應該是這樣


訪客

 

chiny 於 星期二 八月 23, 2005 12:32 am


chanjunhong 寫到:
我曾經看過有人用這樣的方式回答,
但是這樣的方式我深思的過後,覺得不對,
當然是指曾經看過的說法,
但卻不知到你要怎麼用鴿籠原理解釋,
我個人覺得,用鴿籠原理勉強可以解釋餘數的重複性,
但要解釋週期性的重複呢?或許個人才疏學淺,
請不吝惜指教
感謝


>>我個人覺得,用鴿籠原理勉強可以解釋餘數的重複性,
>>但要解釋週期性的重複呢?

請你實際除除看,找幾個除不盡的分數試試看(其實一個已經夠了吧),觀察餘數重複與商的小數循環之關係,應該會有些感覺。

chiny
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chanjunhong 於 星期二 八月 23, 2005 9:08 am


感謝指教,
是的我想我知道怎麼做,但是我想要的是更明確的解釋及理由,而非現象的描述。
如果只是現象的描述,我個人覺得並不需要採用鴿籠原理來解釋。
而且鴿籠原理可以解釋週期性的問題嗎?當然,可不可以我是不知道。

當然,我並非百分百地確定及理解你的意思。同時也非常感謝你的意見及指教。
我大概說明我心中的一些想法。

每一次再作除法退位時,都是

這一件事情,馬上違反鴿籠原理,因為所得的餘數都是1
無法像

每次退位後所得到的餘數集是{1,2,3,4,5,6}
當然,上述的舉例,是我曾經看過別人採用鴿籠原理的作法,將餘數視為(籠子)的作法
而我不知你是採用什麼樣的方式。當然你的方式可能會比較好,請不吝惜告知。
再次感謝你的指教


原意:http://residence.educities.edu.tw/kuen/topics/pigeon/pigeon.htm
(1) 任何整數除以甲數,所得的餘數必屬於{0,1,2,......(甲-1)}
(2) 循環小數發生再不除不盡的情況,所以做退位除法時得到的餘數集應該是
       {1,2,3,....,(甲-1)}視為籠子
(3) 在套用鴿籠原理,可得到餘數會重複。

違反的的所在是:
(1)當你收集不到籠子時,像1/3的例子。應該要收集的籠子為{1,2}
但你只能收集1,時要怎麼辦?(在此我想應該可以修改說法,或方法克服)

(2)鴿籠原理重來沒有提出,可以確定哪隻鴿子住那個籠子的,理論上的證明、或技巧都是人為的控制方法,並非鴿籠原理的本質,所以我覺得無法說明,週期性的問題。
如果可以,哪應該暗藏同模等想關的性質,那回到同模來做或說明應該足夠。
但是我還是沒想清楚及驗證如何用同模來說明。

chanjunhong
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chiny 於 星期三 八月 24, 2005 11:39 pm


chanjunhong 寫到:
(1)當你收集不到籠子時,像1/3的例子。應該要收集的籠子為{1,2}
但你只能收集1,時要怎麼辦?(在此我想應該可以修改說法,或方法克服)



鴿洞原理是用來說明當你除以3時,因為餘數最多只有兩種,所以在除不盡補0的時候,在進行除法時,保證在第三次除不盡補0時餘數就一定會重複了,而開始有週期性出現。
不知道有沒有回答到你問題的重點。

不好意思,一時忘記了,變成以訪客發言,想想還是以本尊發言較為妥當。

chiny
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chanjunhong 於 星期四 八月 25, 2005 11:19 am


chiny 寫到:
chanjunhong 寫到:
(1)當你收集不到籠子時,像1/3的例子。應該要收集的籠子為{1,2}
但你只能收集1,時要怎麼辦?(在此我想應該可以修改說法,或方法克服)



鴿洞原理是用來說明當你除以3時,因為餘數最多只有兩種,所以在除不盡補0的時候,在進行除法時,保證在第三次除不盡補0時餘數就一定會重複了,而開始有週期性出現。
不知道有沒有回答到你問題的重點。

不好意思,一時忘記了,變成以訪客發言,想想還是以本尊發言較為妥當。


是的,感謝你的所提供的作法,很漂亮,而我一開始就沒有從除以至多次數的方向去想,
非常改謝你,但是我對鴿籠原理的疑問,或否定的想法重點,
開始有週期性的出現:這句話是敘述現象,而我希望的是解釋、或理由。
當然,我承認對於這樣循環小數週期性的數字重複,一直採用同模、同餘等想法,
就像1/3的例子一樣,第二次就已經產生循環了,不需要等到第三次以後。
同時,為什麼追究這樣的理由,來自於對無限小數的分類,我們知道無限小數可以分循環小數,及不循環小數,像(Pi)的小數表示,就是因為數字不會有規律的重複,但是數字是會重複出現,所以pi是無理數,而非有理數。
當然,之前的討論,是在討論餘數,延伸至商數是有點不合理,不過
以同樣的想法,目前,我尚未看過有任何更合理解釋週期性的說法。
例如,
並不需要等至第10次除法,才能找到重複。
以上是我的想法理由
(感謝各位的建議及指教,都非常有建設性。)

chanjunhong
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