[難題]2道代數題 [請高手們來挑戰]

[難題]2道代數題 [請高手們來挑戰]

宇智波鼬 於 星期三 八月 03, 2005 9:51 pm


1.有n個數字[n大於2],若每一個數字都小於[它們的和除以n-1],就稱為"crowded".
設{a,b,c...}是一個和為S的n個數字的集合,且是"crowded".證明:
[a]此集合的每一個數字都是正的.
我們總是有a+b大於c, 即任兩個數之和大於另一個數.
[c]我們總是有.其中a和b為{a,b,c...}中的任意2數.
2.是否存在2多項式.且此2多項式的係數都為整數.並使得,,都為某多項式的平方.而且,此2多項式互不為倍式及因式.即Q不等於cP,c為任一實數.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉

galaxylee 於 星期四 八月 04, 2005 9:21 pm


老是忘記登入,該檢討.....

1.[a]應該較簡單,可是還沒想出來,先證[c]好了

1.
設集合={a_1,a_2,a_3,...a_n}且大小排序為0<a_1<a_2<...<a_n
則只要證明a_n<a_1+a_2即可
由定義可知
a_n<(a_1+a_2+...+a_n)/(n-1)
(n-2)a_n<a_1+a_2+...+a_(n-1)
(n-2)a_n-a_3-a_4-....-a_(n-1)<a_1+a_2
(n-2)a_n-a_n-a_n-....-a_n < (n-2)a_n-a_3-a_4-....-a_(n-1)<a_1+a_2
(n-2)a_n-(n-3)a_n < a_1+a_2
a_n < a_1+a_2

1.[c]
即證a_1+a_2 ≧ (a_1+a_2+...+a_n)/(n-1)
用反證法,假設a_1+a_2 < (a_1+a_2+...+a_n)/(n-1)
(n-2)(a_1+a_2)<a_3+a_4+...+a_n .............(*)
但由可知
a_1+a_2>a_3
a_1+a_2>a_4
.......
a_1+a_2>a_n
所以(n-2)(a_1+a_2)>a_3+a_4+...+a_n,顯然(*)與此已知事實矛盾
所以假設錯誤,故a_1+a_2 ≧ (a_1+a_2+...+a_n)/(n-1)

galaxylee
副教授
副教授
 
文章: 555
註冊時間: 2005-07-18

宇智波鼬 於 星期四 八月 04, 2005 9:55 pm


不好意思,請恕我直言,您的方法太過複雜,其實要證明這題,不需要超過10句話.
建議:
試著想出[a],,[c]的關連性,並從[c]推到[a]來證明.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉

galaxylee 於 星期日 八月 07, 2005 11:56 pm


宇智波鼬 寫到:不好意思,請恕我直言,您的方法太過複雜,其實要證明這題,不需要超過10句話.
建議:
試著想出[a],,[c]的關連性,並從[c]推到[a]來證明.


抱歉,又忘了登入,煩請刪除上一篇
這應是第一題證明的"簡潔版"了,看看吧。

[c]的證明
將集合中每個元素相加及由定義可知,S < nS/(n-1),但n/(n-1)>1,所以 S>0。
再用反證法,假設集合中任意兩數之和小於S/(n-1)
取集合中每個元素兩次之總和2S,由假設2S<nS/(n-1)
因為n/(n-1)<2(在n>2時),因此S<0,和已知S>0矛盾
所以集合中取任意兩數a,b,有a+b≧S/(n-1)

[c]推出
利用[c]和定義,顯然集合中任取兩數a,b,必有a+b ≧ S/(n-1) > c,c 是異於a,b的另一數。

[c]推出[a]
用反證法,設集合中的某數a≦0,取另一數b,則 b<S/(n-1)<a+b≦b,矛盾。
所以集合中任意數皆為正數。

實際上,這三個命題是等價的,由證明[c]、[c]=>、[c]=>[a]應是比較簡潔
礙於要清楚表達過程,字句有點囉唆,但應可簡化成10句話以內。

能否給出書上的解答,看看如何10句話就解決,謝謝!

galaxylee
副教授
副教授
 
文章: 555
註冊時間: 2005-07-18

宇智波鼬 於 星期一 八月 08, 2005 9:16 am


這是書上的解答,原文是英文的,以下是我的翻譯:
[c]因為每一個數字都小於S/[n-1],所以除了a與b外的n-2個數字和就小於S[n-2]/[n-1].
   所以
根據[c]的結果,得出
[a]設a小於0,令b小於c. 所以a+b小於c,和矛盾,原命題得證.

p.s.試試第2題,應該比較簡單!!
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉

galaxylee 於 星期四 八月 18, 2005 8:58 pm


可否請"宇智波鼬"公佈第2題的解答
我的直覺是和x^2+y^2=2z^2,x,y,z無異於0的整數解有關,除非x,y有倍數關係,實在懶得想了。

galaxylee
副教授
副教授
 
文章: 555
註冊時間: 2005-07-18

宇智波鼬 於 星期四 八月 18, 2005 10:17 pm


忘記登入了:

其實這題當時我也想了滿久的[足足想了將近2個小時!!]
其中書上的例子分別是:



至於詳細的解題過程請您自己試試看吧!
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉






代數學