[文章][數學]數學思考與邏輯.張海潮

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yll 於 星期五 八月 12, 2005 8:45 pm


數學思考與邏輯  .張海潮

  經 常 有 人 宣 稱 : 「 數 學 可 以 培 養 邏 輯 思 考 的 能 力 」 , 這 種 說 法 多 少 凸 顯 了 數 學 作 為 一 個 學 科 分 工 的 角 色 。 但 是 由 於 邏 輯 思 考 貫 穿 人 類 所 有 的 活 動 , 顯 然 不 專 屬 數 學 。 即 使 在 一 般 大 眾 的 休 閒 活 動 之 中 , 邏 輯 思 考 也 處 處 可 見 , 象 棋 就 是 一 例 。

  象 棋 分 紅 黑 兩 方 , 各 有 十 六 枚 棋 子 。 由 於 棋 子 中 有 炮 , 推 斷 應 起 源 於 宋 , 比 圍 棋 晚 , 但 是 對 奕 起 來 , 遠 比 圍 棋 方 便 , 省 空 間 也 省 時 間 , 因 此 大 為 流 行 。

  象 棋 的 棋 子 各 有 各 的 走 法 和 限 制 , 例 如 馬 走 日 、 象 走 田 、 卒 子 過 河 不 能 回 頭 等 等 。 懂 得 走 法 和 依 法 下 棋 只 能 算 是 入 門 , 就 好 像 知 道 一 加 一 等 於 二 , 二 加 一 等 於 三 , 但 是 思 考 的 內 涵 當 不 只 此 , 特 別 是 每 下 一 步 之 前 必 須 考 慮 所 有 可 能 的 變 化 , 才 能 走 出 最 佳 的 一 步 。 這 個 最 佳 化 的 要 求 與 對 手 是 誰 無 關 , 對 手 不 過 代 表 各 種 變 化 中 的 一 種 , 每 一 步 都 能 符 合 最 佳 化 的 要 求 , 自 然 無 往 不 利 。 但 是 要 考 慮 到 所 有 可 能 的 變 化 又 談 何 容 易 , 比 方 說 這 一 步 下 下 去 有 三 種 變 化 , 再 加 上 下 一 步 有 四 種 可 能 , 總 共 就 是 十 二 種 情 形 。 變 上 加 變 , 其 實 是 相 乘 的 效 果 。 人 腦 不 是 電 腦 , 誰 能 思 慮 如 此 周 密 ?

  棋 手 當 然 了 解 變 上 加 變 所 產 生 的 複 雜 , 因 此 多 半 會 採 取 一 些 只 從 大 處 思 考 的 策 略 。 有 時 只 須 估 算 眼 前 最 要 緊 的 幾 個 變 化 , 有 時 也 會 因 為 自 己 的 偏 好 而 採 取 不 一 定 是 最 佳 化 的 步 驟 , 例 如 棋 手 可 能 以 單 ` 換 對 方 雙 馬 , 或 是 犧 牲 一 個 炮 來 讓 兩 個 兵 過 河 , 這 類 交 換 的 策 略 在 下 棋 中 處 處 可 見 , 可 以 說 並 非 單 靠 邏 輯 清 楚 就 能 進 行 。 換 句 話 說 , 邏 輯 不 過 是 進 行 最 佳 化 思 考 最 底 層 的 基 礎 , 它 提 醒 我 們 原 則 上 必 須 考 慮 所 有 可 能 的 變 化 , 雖 然 在 實 際 運 作 的 時 候 並 非 如 此 , 這 一 點 可 以 說 是 實 際 運 作 和 邏 輯 思 考 最 大 的 不 同 。

  數 學 思 考 必 須 求 全 , 求 全 就 是 涵 蓋 所 有 的 可 能 。 以 三 角 形 三 個 角 加 起 來 等 於 一 百 八 十 度 這 個 命 題 來 說 , 數 學 面 對 的 是 所 有 可 能 的 三 角 形 -- 不 論 大 小 、 尺 寸 -- 隨 便 畫 上 一 個 三 角 形 都 要 滿 足 三 個 角 加 起 來 是 一 百 八 十 度 。 以 正 三 角 形 來 說 , 因 為 三 個 角 都 一 樣 大 , 也 許 以 某 種 方 式 可 以 了 解 它 的 每 個 角 大 小 都 是 六 十 度 , 從 而 證 明 三 個 角 的 和 是 一 百 八 。 但 是 由 於 正 三 角 形 太 過 特 殊 , 就 特 殊 狀 況 所 得 的 結 論 , 一 般 而 言 , 並 不 適 用 全 體 。

  數 學 思 考 的 另 一 個 特 色 就 是 在 概 念 上 要 區 分 什 麼 是 基 本 的 , 而 什 麼 是 後 續 發 展 得 到 的 , 用 最 通 俗 的 話 來 說 就 是 要 區 分 誰 是 雞 , 誰 是 蛋 。 比 方 說 , 加 法 的 概 念 顯 然 比 乘 法 基 本 , 乘 法 不 過 是 連 加 法 的 速 算 。 又 如 三 角 形 的 面 積 是 底 乘 高 的 一 半 , 此 點 顯 然 來 自 於 長 方 形 的 面 積 是 長 乘 寬 , 後 者 遠 比 前 者 更 為 基 本 。

  一 方 面 在 論 證 上 求 全 , 另 一 方 面 在 命 題 上 按 照 雞 生 蛋 、 蛋 生 雞 的 順 序 呈 現 , 形 成 了 數 學 思 考 的 特 色 。 這 大 概 就 是 一 般 所 謂 的 邏 輯 思 考 應 該 具 備 的 要 件 。 這 種 特 色 , 小 學 學 算 術 時 還 不 明 顯 , 到 了 國 中 學 平 面 幾 何 的 時 候 , 一 步 一 步 的 推 理 強 調 的 正 是 如 此 。

  其 實 所 有 的 學 科 都 是 一 樣 , 誰 不 在 意 思 考 的 全 面 性 和 區 分 各 個 命 題 的 基 本 性 ? 只 是 在 學 習 分 工 的 執 行 之 下 , 數 學 首 先 承 擔 了 這 個 任 務 , 所 以 才 說 數 學 的 學 習 有 助 於 邏 輯 思 考 。 但 是 並 不 等 於 說 數 學 的 學 習 有 助 於 發 現 新 的 現 象 或 是 新 的 原 理 原 則 。 如 果 不 能 創 新 , 學 習 只 不 過 是 翻 翻 舊 帳 , 充 其 量 是 中 藥 師 傅 的 小 抽 屜 , 把 每 一 味 藥 放 到 該 放 的 地 方 , 至 於 到 底 醫 得 好 醫 不 好 絕 症 , 只 能 靠 運 氣 。 畢 竟 「 藥 醫 不 死 病 」 這 句 話 在 邏 輯 上 完 全 站 得 住 腳 : 只 要 不 死 , 藥 效 總 是 有 的 。


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帥哥良~
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