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---- · 由 **----** 於星期日五月 18, 2003 1:18 am

證明
(sin x)^10 + (cos x)^10 >= 1/16

scsnake · 由 **scsnake** 於星期日五月 18, 2003 8:29 am

不知能不能這樣...

(左式)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)≧(cos2x+sin2x)5（廣義柯西）

→左式≧1/16，等號成立於cosx:sinx=1:1→cosx=sinx=1/√2

--- · 由 **---** 於星期日五月 18, 2003 8:48 am

let a=sinx ^2
then cosx ^2=1-a, 1>=a>=0

(sin x)^10 + (cos x)^10
=a^5+(1-a)^5
>=2((a+1-a)/2)^5 @@
=1/16

---

@@註: let f(x)=x^5, f"(x)=20x^3. when 1>x>0, f"(x)>0 ==> pf(a)+(1-p)f(b)>=f(pa+(1-p)b)

or (x^n+y^n )/2 >=((x+y)/2)^n may be proved via MI.

or let f(a)= a^5+(1-a)^5
f'(a)=5(a^4-(1-a)^4)=5(a+1-a)(a-1+a)(aa+(1-a)^2)=5(2a-1)(aa+(1-a)^2)
when a>1/2, f'(a)>0
when a<1/2, f/(a)<0
==> min(f)=f(a)

Searchtruth · 由 **Searchtruth** 於星期日五月 18, 2003 10:14 am

證明
(sin x)^10 + (cos x)^10 >= 1/16

(sin x)^10 + (cos x)^10 >= 2 * √((sin x)^10 *(cos x)^10 )
=>(sin x)^10 + (cos x)^10>=2*(sin x)(cos x)^5
而(sin x)(cos x)的最大值為1/2
=>(sin x)^10 + (cos x)^10>=1/16

好像有點怪怪的~"~

--- · 由 **---** 於星期日五月 18, 2003 10:28 am

you can't do it that way.

---- · 由 **----** 於星期日五月 18, 2003 10:35 am

scsnake, Meowth are correct.

Searchtruth, sinxcosx即使在第一象限也是>=0的，故不對
Both 1000

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期日五月 18, 2003 10:41 am

all get 2000 more for other Q

---- · 由 **----** 於星期日五月 18, 2003 3:30 pm

還有別的方法的.....

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期日五月 18, 2003 3:37 pm

f(x)=sin¹⁰x+cos¹⁰x
f'(x)=10sin⁹xcosx-10cos⁹xsinx
=5sin2x(sinx-cosx)(sinx+cosx)(sin²x+cos²x)(sin⁴x+cos⁴x)
=5sin2x(sinx-cosx)(sinx+cosx)(sin⁴x+cos⁴x)

f'(x)=0
sin2x=0, sinx=cosx or sinx=-cosx
x=(2n+1)(π/4)

so, f(x) is at minimum when x=(2n+1)(π/4)
f(x)≧sin¹⁰[(2n+1)(π/4)]+cos¹⁰[(2n+1)(π/4)]=1/16

---- · 由 **----** 於星期日五月 18, 2003 8:40 pm

you can do it without calculus

--- · 由 **---** 於星期二六月 03, 2003 1:11 pm

let a=1/2+b/2
1-a=1/2-b/2

a^5+(1-a)^5
=(1+b)^5 /32+(1-b)^5 /32
=(1+10bb+5bbbb)/16
>=1/16

訪客 · 由訪客於星期一七月 25, 2005 1:18 pm

when X near to zero [sin(sin^2x)cosx]/(3x^2+4x^3)=????

訪客 · 由訪客於星期四八月 11, 2005 5:22 pm

--- 寫到:let a=1/2+b/2
1-a=1/2-b/2

a^5+(1-a)^5
=(1+b)^5 /32+(1-b)^5 /32
=(1+10bb+5bbbb)/16
>=1/16

若次方是奇數, 此法應有障礙吧
微積分比較廣義

qeypour · 由 **qeypour** 於星期四八月 11, 2005 5:28 pm

定理:n>=3,x為銳角
(sinx)^n+(cosx)^n>=2^(1-(n/2))
n=10代入,得證

至於這定理微積分可證

qeypour · 由 **qeypour** 於星期四八月 11, 2005 5:47 pm

Searchtruth 寫到:證明
(sin x)^10 + (cos x)^10 >= 1/16

(sin x)^10 + (cos x)^10 >= 2 * √((sin x)^10 *(cos x)^10 )
=>(sin x)^10 + (cos x)^10>=2*(sin x)(cos x)^5
而(sin x)(cos x)的最大值為1/2
=>(sin x)^10 + (cos x)^10>=1/16

好像有點怪怪的~"~

但此作法會證出(sinx)^2+(cosx)^2最小值為sqrt(2)
怎會這樣??

galaxylee · 由 **galaxylee** 於星期四八月 11, 2005 7:13 pm

有一個定理是這樣的
a,b是正數或0,n為大於1之整數
則 [(a^n)+(b^n)]/2 ≧ [(a+b)/2]^n

證明可由y=x^n在x>=0時是上凹函數得證。

令 a=(cosx)^2，b=(sinx)^2，則a+b=1
(cosx)^10+(sinx)^10
=a^5+b^5 ≧ 2[(a+b)/2]^5=2(1/2)^5=1/16

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[數學]三角函數

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[數學]^^

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