[數學]2005年第46屆IMO試題(墨西哥)

[數學]2005年第46屆IMO試題(墨西哥)

J+W 於 星期五 七月 29, 2005 3:27 pm


2005年第46屆IMO試題(墨西哥)
第一天(4.5小時)

1. 等邊三角形ABC各邊上的六個點A1,A2(在BC上),B1,B2(在CA上),C1,C2(在AB上)構成六邊長相等的凸六邊形A1A2B1B2C1C2.
求證:三條直線A1B2,B1C2,C1A2交於一點.

2. 整數數列a1,a2,……中有無窮多個正項及無窮多個負項.已知,對每個正整數n,數
a1,a2,…,an除以n所得到的餘數互不相同.
證明:每個整數在數列a1,a2,……中都出現且只出現一次.

3. x,y,z爲正數且xyz≧1.求證:
(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2)+(y^5-y^2)/(y^5+z^2+x^2)+(z^5-z^2)/
(z^5+x^2+y^2)≧0.
第二天(4.5小時)
4.試求與無窮數列an=2^n+3^n+6^n-1(n≧1)的一切項均互素的所有正整數.

5.取定凸四邊形ABCD,其中BC=DA,BC與DA不平行.動點E,F分別在線段BC,DA上且滿足BE=DF.直線AC與BD交於P, BD與EF交於Q, EF與AC交於R.求證:當E,F變動時,所有三角形PQR的外接圓周除了P外還有一個公共點.

6.一次數學競賽共給出6道題.已知,每兩題均被多於2/5的選手同時解出,但無一人解出所有6道題.證明:至少有兩人各解出5道題.

2005 IMO 繁體中文版試題(pdf檔)
http://umath.nuk.edu.tw/~senpengeu/2005_IMO_problems.pdf

J+W
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Grant 於 星期三 八月 03, 2005 12:04 am


帕斯卡定理的變形 ?? 第一題

Grant
初學者
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宇智波鼬 於 星期六 八月 06, 2005 6:29 pm


這裡有此屆[2005]IMO的完整英文試題及一些高手們的討論與解答! 不過都是英文的,請自行查字典翻譯咯!
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/topic-44481.html
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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