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如何証明它發散?
請不要用南一高中課本方法
覺得太技巧性了
生平最討厭技巧性的方法...
感謝

分組來看
1
+1/2
+1/3+1/4 =7/12>1/2
+1/5+1/6+/1/7+1/8=533/840 >1/2
.
.
.

如此分組,把>1/2的當成1/2來看,會發現有無窮個1/2相加再加1
自然為一個發散數列

抱歉
請問有沒有人能提供「技巧性」的解法
謝謝

http://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=14206&bname=ASP

浩浩 寫到:分組來看
1
+1/2
+1/3+1/4 =7/12>1/2
+1/5+1/6+/1/7+1/8=533/840 >1/2
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如此分組,把>1/2的當成1/2來看,會發現有無窮個1/2相加再加1
自然為一個發散數列

可是這樣證會有矛盾
1
1/2>1/3
1/4+1/8>1/3
...........
可得 1+無窮多個1/3
所以1+1/2+1/4+1/8+.........發散
這與1+1/2+1/4+1/8+..........收斂為2的事實矛盾
這題一般高微的書中都有證明

qeypour 寫到:

浩浩 寫到:分組來看
1
+1/2
+1/3+1/4 =7/12>1/2
+1/5+1/6+/1/7+1/8=533/840 >1/2
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如此分組,把>1/2的當成1/2來看,會發現有無窮個1/2相加再加1
自然為一個發散數列

可是這樣證會有矛盾
1
1/2>1/3
1/4+1/8>1/3
...........
可得 1+無窮多個1/3
所以1+1/2+1/4+1/8+.........發散
這與1+1/2+1/4+1/8+..........收斂為2的事實矛盾
這題一般高微的書中都有證明

1+1/2+1/4+1/8+.........     您中間少了很多項,應該是漏了無限多項
再加上這無限多項就不會收斂到2,而會發散
這題一般高一的教科書中都有證明

我個人覺得浩浩問的是好問題，
怎麼說，等一下再解釋為什麼是好問題。
提到高微
想必應該知道s_n=1+1/2+1/3+...+1/n
這是一個遞增的數列，一個遞增數列又有上界，
這個數列一定會收斂，問題發生在這個數列會有上界存在嗎？
因為沒有，所以這個數列才會發散。
所以在證明這樣的數列問題，都會採用已知發散的輔助數列q_n，讓
q_n <= s_n  for all n，利用這樣的技巧來說明s_n是發散的。
而為什麼我覺得浩浩問的是好問題，原因是這樣利用相同技巧的概念，
找到錯誤數列的機會，常發生初學高微，比較沒經驗的時候，
常常會找的一個收斂的數列，卻要拿這個有限的收斂值，去說明無窮大。
但是敢嘗試，敢想，是學好數學的第一步。（個人認知）

Anonymous 寫到:

qeypour 寫到:

浩浩 寫到:分組來看
1
+1/2
+1/3+1/4 =7/12>1/2
+1/5+1/6+/1/7+1/8=533/840 >1/2
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如此分組,把>1/2的當成1/2來看,會發現有無窮個1/2相加再加1
自然為一個發散數列

可是這樣證會有矛盾
1
1/2>1/3
1/4+1/8>1/3
...........
可得 1+無窮多個1/3
所以1+1/2+1/4+1/8+.........發散
這與1+1/2+1/4+1/8+..........收斂為2的事實矛盾
這題一般高微的書中都有證明

1+1/2+1/4+1/8+.........     您中間少了很多項,應該是漏了無限多項
再加上這無限多項就不會收斂到2,而會發散
這題一般高一的教科書中都有證明

1+1/2+1/4+1/8+......+1/2^n+.........是一個無窮等比級數
公比為1/2
怎會發散??

我沒說他發散，我是說原本要找一個已知的發散數列，
來證明欲證明的數列是發散，但是初學者容易找到，
收斂的數列，無法說明欲證明的數列是發散，

我是希望鼓勵一個人所問的問題，這是在初學的時候常會發生的問題，
用相同的解題概念，卻找到不正確的數列，並不是解法錯，也不是作答的人錯，
一個有心去思考，但是因經驗不足，我個人是覺得值得鼓勵。

我想技巧只不過是，要操弄發散而已，而這一題的發散至無窮大，不能找太小有限的收斂數列。

1                                     >                               1/2
+1/2                                >=                             1/2
+1/3+1/4                         >     1/4+1/4=             1/2
+1/5+1/6+1/7+1/8            >    1/8+1/8+1/8+1/8=1/2

for all (n>=2)  is  positve integer, there is a positive integer k such that
2^k  <=  n

than you can make the lower bound  [(k+1)/2]  but it will growth up with " n ".

我想剩下的請自己完成吧!!!
想法大概是如此吧！！

如果還想得更多概念及方法，請翻高微吧！！！
我有好長一段時間沒碰，沒法一一記得所有內容

當然，有好方法也不忘分享喔，感謝
同時也抱歉，我沒看過南一版的高中數學的證明，

qeypour 寫到:

浩浩 寫到:分組來看
1
+1/2
+1/3+1/4 =7/12>1/2
+1/5+1/6+/1/7+1/8=533/840 >1/2
.
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如此分組,把>1/2的當成1/2來看,會發現有無窮個1/2相加再加1
自然為一個發散數列

可是這樣證會有矛盾
1
1/2>1/3
1/4+1/8>1/3
...........
可得 1+無窮多個1/3
所以1+1/2+1/4+1/8+.........發散
這與1+1/2+1/4+1/8+..........收斂為2的事實矛盾
這題一般高微的書中都有證明

上述證法在1/16+1/32+.......+1/2^n>1/3即出現錯誤
因為1/16+1/32+.......+1/2^n<1/16+1/32+.......<1/8

1. 我想這個技巧，在於要控制發散
是要湊足8個1/16，16個1/32使得和都為1/2，

2. 其次要證明一個數列發散，就好比甲、乙兩數表較大小
    我要找一個丙數，知到比甲小，但比乙大，這樣我也可以知道
    甲比乙大，當我去找一個比甲、乙都大或都小的數，我如何去間接比較大小
    換句話說，當在這種情況發生時，是我找錯了第三者，要怎麼辦，
    重新找一個適合的阿？

3. 在一個發散的數列s_n下，你可找到多少個收斂的數列q_n
    同時，q_n < s_n  。

4. 用定理來說：一個收斂若是數列的數列，其所有的子數列都是收斂的。
                           一個發散的數列，至少存在一個子數列是發散的。

我想起我以前老師說的一段話：為什有人會離婚，因為找錯人，那離完婚後怎麼辦？
請思考一下吧

抱歉，qeypour 我誤解你文章的意思，
誤會你是對1+1/2+1/3+1/4+...+1/n這一個p級數發散的技巧問題，

對於等比級數1+1/2+1/4+1/8+1/16+......的收斂問題，你採用與相同p級數發散
的作法。
你提
1            
1/2          >  1/3
1/4+1/8   >  1/3
利用這樣子可以製造無窮多個1/3........(式1)
得到發散，與書上所說的不合。
請問你，你是否有嘗試看看1/16+1/32+1/64+.....需要幾項總和才會大於1/3
我從1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256=0.24609375還是小於1/3
所以你提出的(式1)永遠不會成立，只有在前4項才會對，往後不管加總無窮多項，
其值都不會超過0.25。why?
1+1/2+1/4+1/8+......+無窮項，其極限值為2，扣掉1,1/2,1/4有限項後值為0.25  <1/3

抱歉之前誤會你提出的意思，以為你是針對p級數再討論。
不知是否有回答到你覺得矛盾的疑問？